Limite
Salve a tutti, avrei un problema col seguente limite: $lim_(x->pi/4)(e^(sinx-cosx)-sqrt2cosx)/(1-tanx)$, ho provato ad aggiungere e togliere 1 al numeratore: $lim_(x->pi/4)(e^(sinx-cosx)-1+1-sqrt2cosx)/(1-tanx)$ e a sostituire a $e^(sinx-cosx)-1$ l'infinitesimo equivalente arrivando così alla forma $lim_(x->pi/4)(sinx-cosx-sqrt2cosx+1)/((cosx-sinx)/cosx)$, ma non ho idea di come proseguire... c'è quella $sqrt2$ che mi rovina un pò il lavoro.Ho provato anche a fare un cambio di variabile e ad applicare le formule goniometriche, ma non sono arrivato da nessuna parte. Qualche input?
PS: non ho ancora studiato le derivate.
Grazie a tutti.
PS: non ho ancora studiato le derivate.
Grazie a tutti.
Risposte
Senza le derivate ti devi rassegnare a diverse acrobazie ...trigonometriche 
Indico con L il limite incognito e qui comincia..l'avventura:
(ometto l'indicazione del limite a cui tende x)
\(\displaystyle L= \lim \left [ -cosx \left ( \frac{e^{sinx-cosx}-1}{sinx-cosx} +\frac{1-\sqrt2cosx}{sinx-cosx}\right ) \right ] \) =
=\( \displaystyle\ \lim \left [ -cosx \left ( \frac{e^{sinx-cosx}-1}{sinx-cosx}\right ) \right ] +\lim \left [ -cosx \left ( \frac{1-\sqrt2cosx}{sinx-cosx}\right ) \right ] \)
Applico il limite noto \(\displaystyle \lim_{x->0}\frac{e^x-1}{x}=1 \) ed ho:
(A) \(\displaystyle L= -\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2} \cdot \lim \left ( \frac{1-\sqrt2cosx}{sinx-cosx}\right ) \)
Adesso mi occupo solo dell'ultimo limite ( che chiamo L' ) e vedìamo che ne esce ..
\(\displaystyle L' =\lim \left ( \frac{1-\sqrt2cosx}{sinx-cosx}\right ) = \sqrt2\cdot\lim\frac{\sqrt2/2-cosx}{sinx-cosx} =\sqrt2\cdot \lim\frac{cos(\pi/4)-cosx}{cos(\pi/2-x)-cosx}\)
Applico le prostaferesi sopra e sotto:
\(\displaystyle L'=\sqrt2\cdot\lim\frac{-2sin( \frac{\pi/4+x}{2} )sin(\frac{\pi/4-x}{2})}{-2sin( \frac{\pi/2-x+x}{2})sin( \frac{\pi/2-x-x}{2})} =\)\(\displaystyle \sqrt2\cdot\lim\frac{sin( \frac{\pi/4+x}{2} )sin(\frac{\pi/4-x}{2})}{\sqrt2/2\cdot sin( \frac{\pi/2-2x}{2})} \)
Applico la duplicazione a denominatore:
\(L' = \displaystyle \sqrt2\cdot\lim\frac{sin( \frac{\pi/4+x}{2} )sin(\frac{\pi/4-x}{2})}{\sqrt2/2\cdot 2sin( \frac{\pi/4-x}{2})cos(\frac{\pi/4-x}{2})} =\displaystyle \lim\frac{sin( \frac{\pi/4+x}{2} )}{cos(\frac{\pi/4-x}{2})} =\frac{\sqrt2}{2} \)
Sostituendo L' in (A), alla fine ottieni il limte L cercato:
\(\displaystyle L=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2} \cdot\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{1+\sqrt2}{2}\)
Indico con L il limite incognito e qui comincia..l'avventura:
(ometto l'indicazione del limite a cui tende x)
\(\displaystyle L= \lim \left [ -cosx \left ( \frac{e^{sinx-cosx}-1}{sinx-cosx} +\frac{1-\sqrt2cosx}{sinx-cosx}\right ) \right ] \) =
=\( \displaystyle\ \lim \left [ -cosx \left ( \frac{e^{sinx-cosx}-1}{sinx-cosx}\right ) \right ] +\lim \left [ -cosx \left ( \frac{1-\sqrt2cosx}{sinx-cosx}\right ) \right ] \)
Applico il limite noto \(\displaystyle \lim_{x->0}\frac{e^x-1}{x}=1 \) ed ho:
(A) \(\displaystyle L= -\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2} \cdot \lim \left ( \frac{1-\sqrt2cosx}{sinx-cosx}\right ) \)
Adesso mi occupo solo dell'ultimo limite ( che chiamo L' ) e vedìamo che ne esce ..
\(\displaystyle L' =\lim \left ( \frac{1-\sqrt2cosx}{sinx-cosx}\right ) = \sqrt2\cdot\lim\frac{\sqrt2/2-cosx}{sinx-cosx} =\sqrt2\cdot \lim\frac{cos(\pi/4)-cosx}{cos(\pi/2-x)-cosx}\)
Applico le prostaferesi sopra e sotto:
\(\displaystyle L'=\sqrt2\cdot\lim\frac{-2sin( \frac{\pi/4+x}{2} )sin(\frac{\pi/4-x}{2})}{-2sin( \frac{\pi/2-x+x}{2})sin( \frac{\pi/2-x-x}{2})} =\)\(\displaystyle \sqrt2\cdot\lim\frac{sin( \frac{\pi/4+x}{2} )sin(\frac{\pi/4-x}{2})}{\sqrt2/2\cdot sin( \frac{\pi/2-2x}{2})} \)
Applico la duplicazione a denominatore:
\(L' = \displaystyle \sqrt2\cdot\lim\frac{sin( \frac{\pi/4+x}{2} )sin(\frac{\pi/4-x}{2})}{\sqrt2/2\cdot 2sin( \frac{\pi/4-x}{2})cos(\frac{\pi/4-x}{2})} =\displaystyle \lim\frac{sin( \frac{\pi/4+x}{2} )}{cos(\frac{\pi/4-x}{2})} =\frac{\sqrt2}{2} \)
Sostituendo L' in (A), alla fine ottieni il limte L cercato:
\(\displaystyle L=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2} \cdot\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{1+\sqrt2}{2}\)
Mizzica di passaggi O.O, non vedo l'ora di fare le derivate!
Grazie mille!
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