LIMITE (41672)

[kissah]

limite di ln (x+2^x)-ln(2x+e^x) per x che tende a +infinito

[BIT5]

[math] \lim_{x \to + \infty} \ \ \ \log (x+2^x)- \log (2x+e^x)= [/math]

E' questo?

Mi dovresti dire, in che contesto..

Avete fatto de l'Hopital e le derivate?

O state studiando i limiti?

[aleio1]

penso si possa risolvere senza de l'hopital con qualche piccola osservazione sul fatto che l'esponenziale tende ad infinito molto più velocemente di qualsiasi altra funzione..

[math]\lim_{x\to+\infty} \ \ log(x+2^x)-log(2x+e^x)=[/math]

[math]=\lim_{x\to+\infty} \ \ log\left(\frac{x+2^x}{2x+e^x}\right)=[/math]

[math]=\lim_{x\to+\infty} \ \ log\left(\frac{\not {x}\left(1+\frac{2^x}x\right)}{\not{x}\left(2+\frac{e^x}x\right)}\right)=[/math]

[math]=\lim_{x\to+\infty} \ \ log\left(\frac{1+\frac{2^x}x}{2+\frac{e^x}x\right)[/math]

Ora il numeratore tende al limite a cui tende

[math]2^x[/math]

, il denominatore al limite a cui tende

[math]e^x[/math]

che sono entrambi infiniti..ma l'infinito di

[math]e^x[/math]

essendo

[math]e>2>1[/math]

, si mangia l'infinito di

[math]2^x[/math]

e quindi l'argomento del logaritmo tende a

[math]0[/math]

. E' essenzialmente come fare il limite di un rapporto tra una quantità finita ed un infinito.

Dato poi che per

[math]x\right0 \ \ \ log(x)\right-\infty[/math]

hai che

[math]\lim_{x\to+\infty} \ \ log(x+2^x)-log(2x+e^x)=-\infty[/math]

[BIT5]

Pero' io ricordo che alle superiori non si fa il confronto tra infiniti e quello tra infinitesimi...

Poi forse mi sbaglio :D

[aleio1]

io l'ho fatto al liceo..e mi è capitato di vedere questo argomento anche in un testo per il liceo classico quindi suppongo che rientri regolarmente nel programma dell'ultimo anno di matematica..:)

[adry105]

Si al liceo si fanno :) Ma se avessi messo al numeratore a fattor comune 2^x e a denominatore e^x ti sarebbe venuto più semplice :D