Limite
Ciao
Sto risolvendo questo limite $lim_(xrarr0)(3*2^x - 2*3^x)^(1/x)$ dovrebbe fare $8/9$ però a me non viene, io ho fatto cosi
$lim_(xrarro)(3*xlog2 - 2*log3)^(1/x) = (x(log(8/9)))^(1/x) = log(8/9)$ cosa sbaglio?
Sto risolvendo questo limite $lim_(xrarr0)(3*2^x - 2*3^x)^(1/x)$ dovrebbe fare $8/9$ però a me non viene, io ho fatto cosi
$lim_(xrarro)(3*xlog2 - 2*log3)^(1/x) = (x(log(8/9)))^(1/x) = log(8/9)$ cosa sbaglio?
Risposte
"bestplace":
Ciao
$lim_(xrarro)(3*xlog2 - 2*log3)^(1/x) =
mm è un pò pastrocchito...
"fu^2":
mm è un pò pastrocchito...
cosa vuol dire? non posso scrivere $2^x$ come $xlog2$?
$log_2(2^(2^x))$
ma $3^x$ lo devi riscivere come $log_3(3^(3^x))$
ma $3^x$ lo devi riscivere come $log_3(3^(3^x))$
Una cosa l'ho capita, la base ma perchè $2^(2^x)$
come me ne esco da questa forma indeterminata "inf*0"?
lim per x che tende a 0 da destra di "e^(1/x)*x^(1/3).......
lim per x che tende a 0 da destra di "e^(1/x)*x^(1/3).......
Io questo limite continuo a non capirlo, so che posso riscrivere il tutto cosi
$lim_(xrarr+oo)e^(1/x*log(3*2^x - 2*3^x))$
comunque se ho capito bene quello che volevi dire sarebbe $x*log_2(2)$, ma non è uguale ad $x$?
$lim_(xrarr+oo)e^(1/x*log(3*2^x - 2*3^x))$
comunque se ho capito bene quello che volevi dire sarebbe $x*log_2(2)$, ma non è uguale ad $x$?
Ma x non tendeva a 0?
Se $x->0$ osserviamo che l'argomento
del logaritmo all'esponente di $e$ tende a 1,
per cui scriviamo:
$log(3*2^x-2*3^x)=log(1+3*2^x-2*3^x-1)$
e quest'ultima funzione è asintotica a $3*2^x-2*3^x-1$
per $x->0$, infatti $3*2^x-2*3^x-1->0$ per $x->0$.
Dunque il limite è uguale a
$lim_(x->0) e^(1/x(3*2^x-2*3^x-1))
ora si sviluppa $3*2^x-2*3^x-1$; si ha:
$2^x=e^(xlog2)=1+xlog2+o(x)$ per $x->0$
$3^x=1+xlog3+o(x)$ per $x->0$
e sostituendo:
$3*(1+xlog2+o(x))-2*(1+xlog3+o(x))-1=3+3xlog2+o(x)-2-2xlog3+o(x)-1=x(3log2-2log3) +o(x)$ per $x->0$
e ciò vuol dire che $3*2^x-2*3^x-1~~(3log2-2log3)x$ per $x->0$. Dunque
$lim_(x->0) e^(1/x(3*2^x-2*3^x-1)) =lim_(x->0) e^(1/x*x(3log2-2log3)) = lim_(x->0) e^(3log2-2log3) = e^(3log2-2log3) = e^(log8-log9) = e^log(8/9) = 8/9
Se $x->0$ osserviamo che l'argomento
del logaritmo all'esponente di $e$ tende a 1,
per cui scriviamo:
$log(3*2^x-2*3^x)=log(1+3*2^x-2*3^x-1)$
e quest'ultima funzione è asintotica a $3*2^x-2*3^x-1$
per $x->0$, infatti $3*2^x-2*3^x-1->0$ per $x->0$.
Dunque il limite è uguale a
$lim_(x->0) e^(1/x(3*2^x-2*3^x-1))
ora si sviluppa $3*2^x-2*3^x-1$; si ha:
$2^x=e^(xlog2)=1+xlog2+o(x)$ per $x->0$
$3^x=1+xlog3+o(x)$ per $x->0$
e sostituendo:
$3*(1+xlog2+o(x))-2*(1+xlog3+o(x))-1=3+3xlog2+o(x)-2-2xlog3+o(x)-1=x(3log2-2log3) +o(x)$ per $x->0$
e ciò vuol dire che $3*2^x-2*3^x-1~~(3log2-2log3)x$ per $x->0$. Dunque
$lim_(x->0) e^(1/x(3*2^x-2*3^x-1)) =lim_(x->0) e^(1/x*x(3log2-2log3)) = lim_(x->0) e^(3log2-2log3) = e^(3log2-2log3) = e^(log8-log9) = e^log(8/9) = 8/9
"bestplace":
Ciao
Sto risolvendo questo limite $lim_(xrarr0)(3*2^x - 2*3^x)^(1/x)$ dovrebbe fare $8/9$ però a me non viene, io ho fatto cosi
$lim_(xrarro)(3*xlog2 - 2*log3)^(1/x) = (x(log(8/9)))^(1/x) = log(8/9)$ cosa sbaglio?
$(3*2^x - 2*3^x)^(1/x)=e^(1/x*ln(3*2^x-2*3^x))$
Ora applicherei de l'hopital a $1/x*ln(3*2^x-2*3^x)$ per cui con de l'hopital $lim_(x->0)1/x*ln(3*2^x-2*3^x)=lim_(x->0)(3ln2*2^x-2ln3*3^x)=3ln2-2ln3=ln(8/9)$ per cui
$lim_(x->0)(3*2^x - 2*3^x)^(1/x)=lim_(x->0)e^(1/x*ln(3*2^x-2*3^x))=e^(ln(8/9))=8/9$
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