Limite

[Luca114]

Non riesco a capire come si risolvono i limiti del tipo

$lim_(x -> +oo )((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3)$

dove viene detto, nella risposta, di usare $y=e^(lny)$. In che modo dovrei usarla? E come faccio a capire quando usarla?

[niccoset]

"Luca": In che modo dovrei usarla?

$ ((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3)=e^((x+3)ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))) $ da qui $ x+3 $ come $ 1/(1/(x+3)) $ e utilizzando la regola di De l'Hopital si arriva alla soluzione.

"Luca":E come faccio a capire quando usarla?

Diciamo che la forma indeterminata $ 1^infty $ è una ottima candidata per usare questo metodo.

[francicko]

Si possono usare solamente gli asintotici senza ricorrere ad Hopital, avendo per $x->infty $, $(x+3)×log((x^2+2x+3)/(x^2-x+1)) $, essendo che l'argomento del logaritmo possiamo metterlo nella forma $((x^2+2x+3)-3x-2+3x+2)/(x^2-x+1)=((x^2-x+1)+(3x+2))/(x^2-x+1)=(x^2-x+1)/(x^2-x+1)+(3x+2)/(x^2-x+1)=1+(3x+2)/(x^2-x+1)$,
adesso,$(3x+2)/(x^2-x+1)~3/x $, a sua volta, $log (1+3/x )~3/x $, sostituendo avremo $lim_(x->infty )e^((x+3)×(3/x)$ $=lim_(x->infty)e^(3+9/x )$ $=e^3$, che e' il valore esatto del limite cercato;
Saluti!

[francicko]

Volendo si può anche fare a meno del suggerimento, del testo e mantenere il limite nella forma originale, naturalmente sfruttando sempre l'artificio $(x^2+2x+3)/(x^2-x+1)=1+(3x+2)/(x^2-x+1)~1+3/x $, ed operando come segue:
$lim_(x->infty)((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3)=lim_(x->infty)(1+3/x)^(x+3)=lim (1+3/x)^x=lim(1+3/x)^(3×x/3)=lim( (1+3/x )^(x/3))^3=e^3$, naturalmente ricordando che $lim_(x->infty)(1+3/x)^(x/3)=e $;
Spero che Ie procedure che ho riportato, ti siano chiare, comunque applicare Hopital e ' anche giusto, solo che comporta lungaggini nei calcoli, in questo caso come anche in analoghi con un semplice artificio ed qualche asintotico, si raggiunge facilmente il risultato.
Saluti! ☺