Limite

[matematicus95]

Devo verificare il seguente limite:$lim_{x\to\3^+}e^(2/(3-x)) =0^+$ allora applico la definizione e quindi mi viene
$0

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Risposte

burm87

10 giu 2013, 14:14

$e^(2/(3-x))
$2/(3-x)
$(2-3lnepsilon+xlnepsilon)/(3-x)<0$

Se fai lo studio del segno di questa ottieni:

$3
che se non erro è un intorno destro di $3$.

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matematicus95

10 giu 2013, 15:51

Ma in questo caso x-3 non è sempre negativo?

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@melia

10 giu 2013, 16:55

"matematicus95":Ma in questo caso x-3 non è sempre negativo?

Anche il $ln epsilon$ è sempre negativo, visto che $epsilon $ deve essere sì positivo, ma senza altre limitazioni inferiori, quindi per $0

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matematicus95

10 giu 2013, 18:24

E quindi perché si deve fare lo studio del segno?

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matematicus95

12 giu 2013, 09:42

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giammaria2

13 giu 2013, 16:42

burm87 non ha tenuto conto del fatto che il segno del denominatore era noto ed ha quindi fatto un normale studio del segno. Se invece vogliamo tenerne conto, attento: quello che è sempre negativo è $3-x$, quindi dalla disequazione frazionaria che lui ha scritto si deduce
$2-3ln epsilon+xln epsilon>0$
$xln epsilon>3ln epsilon-2$
$x<3-2/(ln epsilon)$
Tenendo conto del dominio: $3 Per capire bene il risultato, notiamo che con $epsilon$ molto piccolo, $ln epsilon$ è negativo e molto grande in valore assoluto: possiamo quindi porre $ln epsilon=-M$, con il solito significato di $M$. Il risultato viene allora visto come $3

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burm87

14 giu 2013, 07:21

Perché il dominio dovrebbe prevedere che $x>3$?

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giammaria2

14 giu 2013, 16:34

Hai ragione, ho usato la parola sbagliata. Quello che intendevo dire (e che non ho detto) è che, poiché $x->3^+$, ci interessa solo un intorno in cui sia $x>3$.

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burm87

14 giu 2013, 19:37

Ok, mi è più chiaro!

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matematicus95

15 giu 2013, 12:20

Ma quell $xto3$ lo possiamo utilizzare anche se dobbiamo dimostrarlo?

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giammaria2

15 giu 2013, 13:15

Dobbiamo dimostrare che la disequazione vale in quell'intorno, ma possiamo utilizzare il fatto che non ci interessa cosa avviene altrove. Se non vuoi utilizzarlo, ti basta usare la soluzione che aveva dato burm87.

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[burm87]

$e^(2/(3-x))
$2/(3-x)
$(2-3lnepsilon+xlnepsilon)/(3-x)<0$

Se fai lo studio del segno di questa ottieni:

$3
che se non erro è un intorno destro di $3$.

[matematicus95]

Ma in questo caso x-3 non è sempre negativo?

[@melia]

"matematicus95":Ma in questo caso x-3 non è sempre negativo?

Anche il $ln epsilon$ è sempre negativo, visto che $epsilon $ deve essere sì positivo, ma senza altre limitazioni inferiori, quindi per $0

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[matematicus95]

E quindi perché si deve fare lo studio del segno?

[matematicus95]

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[giammaria2]

burm87 non ha tenuto conto del fatto che il segno del denominatore era noto ed ha quindi fatto un normale studio del segno. Se invece vogliamo tenerne conto, attento: quello che è sempre negativo è $3-x$, quindi dalla disequazione frazionaria che lui ha scritto si deduce
$2-3ln epsilon+xln epsilon>0$
$xln epsilon>3ln epsilon-2$
$x<3-2/(ln epsilon)$
Tenendo conto del dominio: $3 Per capire bene il risultato, notiamo che con $epsilon$ molto piccolo, $ln epsilon$ è negativo e molto grande in valore assoluto: possiamo quindi porre $ln epsilon=-M$, con il solito significato di $M$. Il risultato viene allora visto come $3

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[burm87]

Perché il dominio dovrebbe prevedere che $x>3$?

[giammaria2]

Hai ragione, ho usato la parola sbagliata. Quello che intendevo dire (e che non ho detto) è che, poiché $x->3^+$, ci interessa solo un intorno in cui sia $x>3$.

[burm87]

Ok, mi è più chiaro!

[matematicus95]

Ma quell $xto3$ lo possiamo utilizzare anche se dobbiamo dimostrarlo?

[giammaria2]

Dobbiamo dimostrare che la disequazione vale in quell'intorno, ma possiamo utilizzare il fatto che non ci interessa cosa avviene altrove. Se non vuoi utilizzarlo, ti basta usare la soluzione che aveva dato burm87.