Limitazioni nei problemi di calcolo di massimo e minimo
Salve a tutti, sto svolgendo dei problemi di massimo e minimo, e noto che ho un po' di difficoltà nel calcolo delle limitazioni dell'incognita in questi problemi. Spesso, con i calcoli, le limitazioni vengono "suggerite" da alcune condizioni di esistenza (nei casi in cui applico il teorema di Pitagora, le condizioni di esistenza della radice corrispondono alle limitazioni della x).
Ci sono casi in cui non ho la più pallida idea di come si arrivi a determinate limitazioni, nonostante abbia tentato vari procedimenti; vi propongo in particolare i testi di due problemi:
"Tra tutti i cilindri di superficie totale $ 2pi a^2 $ determinare quello di volume massimo".
Il problema l'ho risolto correttamente, e posto x uguale al raggio di base, viene x= $ a/sqrt3 $ : nonostante ciò, come limitazione il libro dà $ 0<=x<=a $ . Il libro giustifica questa scelta dicendo che se $ hx + x^2 =a^2 $ (prendendo h come l'altezza del cilindro) allora $ hx =a^2 -x^2 $, e quindi $ a^2 -x^2 >= 0 $. Non capisco da dove prenda queste ultime due relazioni. Perché, ad esempio, non considera la x che si moltiplica con h?
Poi:
"Tra tutti i coni retti per i quali è costante la somma s del raggio di base e dell'apotema, qual è quello di volume massimo?"
In questo caso, ho pensato di utilizzare una regola dei triangoli per cui un lato del triangolo non può essere più grande della somma degli altri due lati, e il libro dice che la limitazione di x è $ 0<=x<=s/2 $
Però non capisco una cosa: ma se, nel caso limite, il terzo lato sia uguale a s (perché la somma degli altri due dà s, appunto) non è possibile che uno sia, ad esempio 2/3 s e l'altro 1/3s ? Oppure uno 3/4 s e l'altro 1/4 s ?
Questi due sono i miei dubbi principali, un aiutino?
Ci sono casi in cui non ho la più pallida idea di come si arrivi a determinate limitazioni, nonostante abbia tentato vari procedimenti; vi propongo in particolare i testi di due problemi:
"Tra tutti i cilindri di superficie totale $ 2pi a^2 $ determinare quello di volume massimo".
Il problema l'ho risolto correttamente, e posto x uguale al raggio di base, viene x= $ a/sqrt3 $ : nonostante ciò, come limitazione il libro dà $ 0<=x<=a $ . Il libro giustifica questa scelta dicendo che se $ hx + x^2 =a^2 $ (prendendo h come l'altezza del cilindro) allora $ hx =a^2 -x^2 $, e quindi $ a^2 -x^2 >= 0 $. Non capisco da dove prenda queste ultime due relazioni. Perché, ad esempio, non considera la x che si moltiplica con h?
Poi:
"Tra tutti i coni retti per i quali è costante la somma s del raggio di base e dell'apotema, qual è quello di volume massimo?"
In questo caso, ho pensato di utilizzare una regola dei triangoli per cui un lato del triangolo non può essere più grande della somma degli altri due lati, e il libro dice che la limitazione di x è $ 0<=x<=s/2 $
Però non capisco una cosa: ma se, nel caso limite, il terzo lato sia uguale a s (perché la somma degli altri due dà s, appunto) non è possibile che uno sia, ad esempio 2/3 s e l'altro 1/3s ? Oppure uno 3/4 s e l'altro 1/4 s ?
Questi due sono i miei dubbi principali, un aiutino?
Risposte
Per il primo il fatto è che $hx$ essendo il prodotto tra due distanze non può essere negativo, quindi $a^2-x^2>=0$.
Per il secondo. In ciascuno dei tuoi esempi c'è un lato minore di $s/2$, il testo ha scelto come $x$ il lato minore.
Per il secondo. In ciascuno dei tuoi esempi c'è un lato minore di $s/2$, il testo ha scelto come $x$ il lato minore.
Ora ho capito, grazie mille! 
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