Limitaccio di $(x-1)*e^(-((x-1)^(1/3)))$
Limite a -oo di $(x-1)*e^(-((x-1)^(1/3)))$
Ora noi possiamo scriverlo:
$(x-1)/(e^(((x-1)^(1/3))))$
e viene -oo/0+ quindi -oo invece non e' cosi', in quando il libro dice che fa zero.
Qualcuno sa dirmi perche'? Non ditemi per la scala degli infiniti, dal momento che qui non si tratta di una F.I. (O no???)
Grazie.
Ora noi possiamo scriverlo:
$(x-1)/(e^(((x-1)^(1/3))))$
e viene -oo/0+ quindi -oo invece non e' cosi', in quando il libro dice che fa zero.
Qualcuno sa dirmi perche'? Non ditemi per la scala degli infiniti, dal momento che qui non si tratta di una F.I. (O no???)
Grazie.
Risposte
Per $x->-oo$ viene $-oo*+oo=-oo$ non c'è dubbio.
Per $x_>+oo$ si ha una forma indeterminata. Infatti è $oo * 0$. Per applicare la regola di De l'Hopital conviene porlo nella forma $oo/oo$ nel modo seguente:
$lim_(x->+oo) (x-1)/(e^((x-1)^(1/3)))=lim_(x->+oo)1/((1/3)(x-1)^(-2/3)e^((x-1)^(1/3)))=0$ perché l'esponenziale tende a infinito più velocemente di qualunque potenza della x.
Per $x_>+oo$ si ha una forma indeterminata. Infatti è $oo * 0$. Per applicare la regola di De l'Hopital conviene porlo nella forma $oo/oo$ nel modo seguente:
$lim_(x->+oo) (x-1)/(e^((x-1)^(1/3)))=lim_(x->+oo)1/((1/3)(x-1)^(-2/3)e^((x-1)^(1/3)))=0$ perché l'esponenziale tende a infinito più velocemente di qualunque potenza della x.
Io farei così:
posto (x-1) = t, il limite diventa:
$lim_(t->oo)\ \ t/(e^root(3)t)$. Si possono verificare 3 casi:
1) Se t cresce più rapidamente di $e^root(3)t$, allora il limite è $oo$;
2) Se t = $e^root(3)t$, allora il limte è 1;
3) Se t cresce meno rapidamente di $e^root(3)t$, allora il limte è $0$.
Per ipotesi poniamo t = $e^root(3)t$ ed eliminando la $e$ si ha: $lg\ t\ =\ root(3)(t)$. Mostriamo che il $lg\ t$ tende all'infinito. Preso un M grande a piacere è possibile trovare un N tale che $N > lg\ M$ (1). Passando nuovamente all'eponenziale si ha: $e^N > M$, pertanto basterà prendere $e^N>M$ per provare la tesi. Facciamo la stessa cosa per il termine $e^root(3)t$ e mostriamo che preso un M grande a piacere è possibile trovare un N tale che $e^root(3)N>M$; basta, dunque, che sia $N > log^3M$ (2). Dal confronto della (1) con la (2) si verifica che la (2) cresce molto più rapidamente della (1), si deve concludere che il limite cercato è 0.
posto (x-1) = t, il limite diventa:
$lim_(t->oo)\ \ t/(e^root(3)t)$. Si possono verificare 3 casi:
1) Se t cresce più rapidamente di $e^root(3)t$, allora il limite è $oo$;
2) Se t = $e^root(3)t$, allora il limte è 1;
3) Se t cresce meno rapidamente di $e^root(3)t$, allora il limte è $0$.
Per ipotesi poniamo t = $e^root(3)t$ ed eliminando la $e$ si ha: $lg\ t\ =\ root(3)(t)$. Mostriamo che il $lg\ t$ tende all'infinito. Preso un M grande a piacere è possibile trovare un N tale che $N > lg\ M$ (1). Passando nuovamente all'eponenziale si ha: $e^N > M$, pertanto basterà prendere $e^N>M$ per provare la tesi. Facciamo la stessa cosa per il termine $e^root(3)t$ e mostriamo che preso un M grande a piacere è possibile trovare un N tale che $e^root(3)N>M$; basta, dunque, che sia $N > log^3M$ (2). Dal confronto della (1) con la (2) si verifica che la (2) cresce molto più rapidamente della (1), si deve concludere che il limite cercato è 0.
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