Le trasformazioni nel piano cartesiano

[ais]

Buonasera a tutti,
volevo chiedere chiarimenti riguardo al concetto di trasformazione inversa in geometria analitica. Come ricavare le equazioni di una trasformazione inversa da un sistema di equazioni?

es.

t ^-1 di x'=3x - 2y
. y'=-4x +3y

Grazie in anticipo!

[Studente Anonimo]

Una trasformazione geometrica

[math]t[/math]

tra i punti di un piano è una corrispondenza biunivoca
che ad ogni punto

[math]P[/math]

del piano associa uno e un solo punto

[math]P'[/math]

appartenente al piano
stesso e viceversa. La trasformazione inversa, che esiste sempre poiché

[math]t[/math]

è biunivoca,
viene indicata con

[math]t^{-1}[/math]

e si scrive:

[math]P = t^{-1}(P')[/math]

. Per calcolare le equazioni dell'in-
versa si possono utilizzare due metodi: quello di sostituzione (generale), quello di Cramer
(consigliabile per equazioni lineari).

Esempio: calcolare l'inversa della trasformazione

[math]t : \begin{cases} x' = x - y \\ y' = 2x + y + 1 \end{cases}\\[/math]

.

1. Metodo di sostituzione:

1.1 ricaviamo un'incognita (la più conveniente da una delle
due equazioni: ad esempio

[math]x[/math]

dalla prima equazione):

[math]\begin{cases} x = x' + y \\ y' = 2x + y + 1 \end{cases}\\[/math]

;

1.2 sostituiamo l'espressione di

[math]x[/math]

nella seconda equazione:

[math]\begin{cases} x = x' + y \\ y' = 2(x' + y) + y + 1 \end{cases} \; \Rightarrow \; \begin{cases} x = x' + y \\ y' = 2x' + 3y + 1 \end{cases} \\[/math]

;

1.3 ricaviamo

[math]y[/math]

dalla seconda equazione:

[math]\begin{cases} x = x' + y \\ y = \frac{-2x'+y'-1}{3} \end{cases}\\[/math]

;

1.4 sostituiamo

[math]y[/math]

nella prima equazione per avere

[math]x[/math]

in funzione delle sole coordinate "nuove":

[math]\begin{cases} x = x' + \frac{-2x'+y'-1}{3} \\ y = \frac{-2x'+y'-1}{3} \end{cases} \; \Rightarrow \; t^{-1} : \begin{cases} x = \frac{x'+y'-1}{3} \\ y = \frac{-2x'+y'-1}{3} \end{cases} \\[/math]

.


2. Metodo di Cramer:

2.1 scriviamo il sistema in forma normale, tenendo
presente che le "incognite" da ricavare sono

[math]x[/math]

e

[math]y[/math]

:

[math]\begin{cases} x - y = x' \\ 2x + y = y'-1 \end{cases}\\[/math]

;

2.2 calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:

[math]D := \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 3\\[/math]

;

2.3 calcoliamo i determinanti di quest'altre matrici:

[math]D_x := \det\begin{pmatrix} x' & -1 \\ y'-1 & 1 \end{pmatrix} = x'+y'-1\\[/math]

;

[math]D_y := \det\begin{pmatrix} 1 & x' \\ 2 & y'-1 \end{pmatrix} = y'-1-2x'\\[/math]

;

2.4 applichiamo la formula di Cramer:

[math]\begin{cases} x = \frac{D_x}{D} \\ y = \frac{D_y}{D} \end{cases} \; \Rightarrow \; t^{-1} : \begin{cases} x = \frac{x'+y'-1}{3} \\ y = \frac{-2x'+y'-1}{3} \end{cases} \\[/math]

.


A te scegliere quello che ti piace di più e applicarlo al tuo caso. ;)

[ais]

Grazie mille!