Le approssimazioni dei limiti
Salve ragazzi, vi scrivo un topic con un titolo che potrebbe non essere immediatamente intuitivo, ma che spero di potervi spiegare esaurientemente. Di recente a scuola abbiamo iniziato i limiti, la verifica si avvicinae e il mio professore è fuori città da circa una settimana, così che adesso io mi ritrovi coi dubbi e nessuna soluzione 
Partiamo da un concetto di base, ovvero come e perché considerare il segno di una x che tende a qualcosa. Ad esempio, se io estraggo una x da una radice con indice pari allora quella x dovrò considerarla in valore assoluto ma, se x->meno infinito, |x|=-x per indicare che è positiva. Il problema è: quando io ho un limite con x che tende a meno infinito o a un numero negativo, sono obbligato a considerare tutte le x come negative? Perché?
Inoltre, ed in particolare, ho un problema con il calcolo dei limiti destri e sinistri. Su Internet leggevo che un metodo alla buona potrebbe essere sostituire con un valore immediatamente prossimo secondo il verso richiesto (es. -2- -> -2,1), eppure il mio professore aveva illustrato un metodo grafico che si basava sul segno di un polinomio. Io mancavo e un amico mi ha mostrato questo esercizio:
lim [(x+1)/(x^2+x-2)] = (-2+1)/(4-2-2) =infinito
x->-2
Da cui si calcola -2+ e -2- osservando che al denominatore della funzione c'è una parabola con concavità verso l'alto e creando un grafico del segno. Ora, innanzitutto questo metodo mi porta a dei risultati in netto contrasto con il grafico generato da Google (i segni degli infiniti sono l'opposto!) e per di più, anche se provo a considerare solo il fattore x+2, non mi spiego il perché di tale metodo.
Se qualcuno potesse gentilmente illuminarmi gliene sarei grato
P.S. avrei voluto scrivere le formule come si deve, ma non ho idea di come usare LaTex. C'è un modo più veloce che non richieda di imparare ad usare un intero programma?
Partiamo da un concetto di base, ovvero come e perché considerare il segno di una x che tende a qualcosa. Ad esempio, se io estraggo una x da una radice con indice pari allora quella x dovrò considerarla in valore assoluto ma, se x->meno infinito, |x|=-x per indicare che è positiva. Il problema è: quando io ho un limite con x che tende a meno infinito o a un numero negativo, sono obbligato a considerare tutte le x come negative? Perché?
Inoltre, ed in particolare, ho un problema con il calcolo dei limiti destri e sinistri. Su Internet leggevo che un metodo alla buona potrebbe essere sostituire con un valore immediatamente prossimo secondo il verso richiesto (es. -2- -> -2,1), eppure il mio professore aveva illustrato un metodo grafico che si basava sul segno di un polinomio. Io mancavo e un amico mi ha mostrato questo esercizio:
lim [(x+1)/(x^2+x-2)] = (-2+1)/(4-2-2) =infinito
x->-2
Da cui si calcola -2+ e -2- osservando che al denominatore della funzione c'è una parabola con concavità verso l'alto e creando un grafico del segno. Ora, innanzitutto questo metodo mi porta a dei risultati in netto contrasto con il grafico generato da Google (i segni degli infiniti sono l'opposto!) e per di più, anche se provo a considerare solo il fattore x+2, non mi spiego il perché di tale metodo.
Se qualcuno potesse gentilmente illuminarmi gliene sarei grato
P.S. avrei voluto scrivere le formule come si deve, ma non ho idea di come usare LaTex. C'è un modo più veloce che non richieda di imparare ad usare un intero programma?
Risposte
Comincio con l'ultima domanda: oltre a LaTex questo forum utilizza anche ASCIIMathML, molto intuitivo e facile da imparare. Nella parte alta della pagina, nel riquadro rosa, trovi il rimando alla sua guida; puoi controllare di aver scritto bene le formule passando in Anteprima (non accessibile da Risposta Rapida) dopo che le hai completate.
Passiamo ai limiti destro e sinistro. Il metodo alla buona che hai trovato su internet è comodo, ma non applicabile in presenza di altre lettere oltre ad $x$; il metodo del tuo professore mi sembra piuttosto faticoso. In presenza di polinomi, ti conviene scomporre in fattori, ricordando che per la regola di Ruffini un polinomio che si annulla per $x=c$ è divisibile per $x-c$. Inizierei quindi il tuo esercizio scrivendo
$lim_(x->(-2)^+)(x+1)/(x^2+x-2)=lim_(x->(-2)^+)(x+1)/((x+2)(x-1))$
Se anche il tutto fosse ulteriormente scomponibile non perderei tempo a farlo perché non mi serve. Ora guardo a cosa tende ogni fattore e continuo con
$=(-1)/(0^+*(-3))=+oo$
Analogo per $x->(-2)^-$.
Per quanto riguarda $x->-oo$, vogliamo sapere cosa succede quando $x$ si avvicina a $-oo$, cioè è negativo e grandissimo in valore assoluto: è ovvio che non ci interessano altri valori e pensiamo solo a quelli. Pensare a valori positivi è come andare a cercare notizie di Giulio Cesare sul libro di matematica.
Passiamo ai limiti destro e sinistro. Il metodo alla buona che hai trovato su internet è comodo, ma non applicabile in presenza di altre lettere oltre ad $x$; il metodo del tuo professore mi sembra piuttosto faticoso. In presenza di polinomi, ti conviene scomporre in fattori, ricordando che per la regola di Ruffini un polinomio che si annulla per $x=c$ è divisibile per $x-c$. Inizierei quindi il tuo esercizio scrivendo
$lim_(x->(-2)^+)(x+1)/(x^2+x-2)=lim_(x->(-2)^+)(x+1)/((x+2)(x-1))$
Se anche il tutto fosse ulteriormente scomponibile non perderei tempo a farlo perché non mi serve. Ora guardo a cosa tende ogni fattore e continuo con
$=(-1)/(0^+*(-3))=+oo$
Analogo per $x->(-2)^-$.
Per quanto riguarda $x->-oo$, vogliamo sapere cosa succede quando $x$ si avvicina a $-oo$, cioè è negativo e grandissimo in valore assoluto: è ovvio che non ci interessano altri valori e pensiamo solo a quelli. Pensare a valori positivi è come andare a cercare notizie di Giulio Cesare sul libro di matematica.
"giammaria":
Ora guardo a cosa tende ogni fattore e continuo con
$=(-1)/(0^+*(-3))=+oo$
Questa parte mi sfugge. Stai dicendo che devo considerarli come prodotti di limiti? E, nel caso, perché quando sostituisci -2 in (x+2) ottieni uno zero positivo?
Riguardo invece alla tua risposta più che legittima sul segno: per semplice curiosità, che tu sappia, l'intera algebra che usiamo con questi metodi di sostituzione e che ci porta a fare considerazioni quali n/0=infinito, è in seguito giustificata da qualcosa che va oltre il semplice intuito? Perché, diciamocelo, non è molto matematico pensare che "ci sono infiniti 0 dentro ad n" o che "n diviso un'infinità si avvicina a zero".
Continuo a rispondere partendo dall'ultima domanda. Formule del tipo $k/oo=0$ sono in realtà modi abbreviati di esprimere teoremi; l'enunciato completo del mio esempio sarebbe "Se in una frazione il numeratore tende ad un numero finito ed il denominatore tende ad infinito, la frazione tende a zero": un po' lungo da dire, non trovi? E non è che sia giustificato in seguito: come tutti i teoremi, ha la sua brava dimostrazione, fatta nello stesso modo in cui sono fatte le altre dimostrazioni sui limiti. Però i teoremi di questo tipo sono molti, con dimostrazioni molto simili fra loro e quindi rese noiose dalla ripetizione; per questo si è deciso di non farle studiare e di lasciarle al semplice intuito.
Per la prima domanda: sì, devi considerarli come prodotto di limiti: come sai, il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti. In realtà questo varrebbe solo con calcoli normali, non con uno zero a denominatore, ma pensando ai teoremi di cui ti ho appena parlato lo estendiamo anche a questo caso.
Dire che $x->(-2)^+$ significa che $x$ ha un valore vicino a $-2$ ma più grande di esso, alla sua destra; puoi pensare al valore $-1.9$. Aggiungendoci 2 ottieni un valore positivo.
Come regola generale: $x-c$ è positivo per $x->c^+$ e negativo per $x->c^-$.
Per la prima domanda: sì, devi considerarli come prodotto di limiti: come sai, il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti. In realtà questo varrebbe solo con calcoli normali, non con uno zero a denominatore, ma pensando ai teoremi di cui ti ho appena parlato lo estendiamo anche a questo caso.
Dire che $x->(-2)^+$ significa che $x$ ha un valore vicino a $-2$ ma più grande di esso, alla sua destra; puoi pensare al valore $-1.9$. Aggiungendoci 2 ottieni un valore positivo.
Come regola generale: $x-c$ è positivo per $x->c^+$ e negativo per $x->c^-$.
Oggi è tornato il mio professore ed ho potuto chiedere chiarimenti riguardo i limiti destri e sinistri. Il motivo per cui il segno degli infiniti calcolato attraverso i grafici non era corretto era dato dal fatto che io, nonostante a dire il vero c'avessi pure pensato, concludevo che il segno dell'infinito fosse quello appena ricavato: sbagliato. In realtà si tratta di uno zero positivo o negativo, per cui alla fine bisogna calcolare la funzione nel suo complesso (es. -1/0- = +inf).
Capisco bene anche il metodo che mi hai mostrato, più "aritmetico" e meno grafico.
Grazie di tutto
Capisco bene anche il metodo che mi hai mostrato, più "aritmetico" e meno grafico.
Grazie di tutto
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