Laplace
buona giornata|! qualcuno potrebbe spiegare la regola di laplace per la risoluazione dei sistemi di primo grado!????
Risposte
Intendi i sistemi lineari? Allora le regole sono Kramer o Rouche-Capelli. Laplace, o meglio lo sviluppo di Laplace (visto che esistono altri risultati riconducibili a Laplace, come la trasformata) serve per calcolare il determinante di una matrice quadrata di dimensione qualsiasi.
si quello.....proprio quello che serve a calcolare il determinante di una matrice quadrata di dimensione qualsiasi.
No... tu quoque, salfor76, proprio tu che sei uno di quelli che rende la sezione delle presentazioni meno desertica caschi nel crossposting! 
Se fossi moderatore io, però, ti perdonerei subito per il motivo appena detto.
Passando alla questione di Laplace, non so spiegarla nella sua mera teoria e mi servirò di un esempio.
Fai conto di avere una matrice $4 \times 4$ di cui calcolare il determinante:
$A_(i,j)=((a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3),a_(1,4)),(a_(2,1),a_(2,2),a_(2,3),a_(2,4)),(a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3),a_(3,4)),(a_(4,1),a_(4,2),a_(4,3),a_(4,4)))$
La formula che sta sulla pagina wiki che t'ha segnalato garnak, a vederla è un po' incomprensibile. Essa è
$"Det"(A)= \sum_(j=1)^n (-1)^(i+j)a_(i,j) "Det"(A_(ij))$
Premettiamo che in essa
- $A_(ij)$ è la sottomatrice che si ottiene togliendo la riga $i$ e la colonna $j$ ad $A$
- la formula in sé dice "si fissa una riga (o colonna, ma non è quella la formula, andrebbe cambiata) qualsiasi e si fa variare la colonna da $1$ a $n$ (l'indice $j$) e si fa la somma dei singoli elementi a cui si moltiplica il determinante del minore. Tale somma non è proprio tale poiché c'è quel $(-1)^(i+j)$ che vale una volta $1$ e un'altra $-1$ a seconda dell'esponente.
Comunque torniamo al nostro esempio. Scegliamo la prima riga, abbiamo
$"Det"(A)=(-1)^(1+1)a_(1,1) "Det"(A_(11))+(-1)^(1+2)a_(1,2)"Det"(A_(12))+(-1)^(1+3)a_(1,3)"Det"(A_(13))+(-1)^(1+4)a_(1,4)"Det"(A_(14))$
Scegliendo invece della prima, la terza riga avremmo avuto, invece
$"Det"(A)=(-1)^(3+1)a_(3,1) "Det"(A_(31))+(-1)^(3+2)a_(3,2)"Det"(A_(32))+(-1)^(3+3)a_(3,3)"Det"(A_(33))+(-1)^(3+4)a_(3,4)"Det"(A_(34))$
Invece di sviluppare sulle righe, si può anche sviluppare sulle colonne: in pratica è esattamente una questione "speculare", poiché si sceglie una colonna e si calcola con una formula analoga facendo variare gli elementi lungo le righe.
Passiamo, ora, ad un esempio numerico, hai
$A=((0,4,6,2),(3,2,-6,1),(0,-4,1,0),(2,0,0,-1))$
Per calcolare il determinante, mi scelgo innanzitutto una riga "facile", direi l'ultima perché oltre ad avere il maggior numero di zeri, è anche quella che ha i coefficienti più bassi.
$"Det"(A)=(-1)^(4+1) \cdot 2 \cdot |(4,6,2),(2,-6,1),(-4,1,0)|+(-1)^(4+2) \cdot 0 \cdot |(0,6,2),(3,-6,1),(0,1,0)|+(-1)^(4+3) \cdot 0 \cdot |(0,4,2),(3,2,1),(0,-4,0)|+(-1)^(4+4) \cdot (-1) \cdot |(0,4,6),(3,2,-6),(0,-4,1)|$
$=(-1)^(4+1) \cdot 2 \cdot |(4,6,2),(2,-6,1),(-4,1,0)|+(-1)^(4+4) \cdot (-1) \cdot |(0,4,6),(3,2,-6),(0,-4,1)|$
$=(-2) \cdot |(4,6,2),(2,-6,1),(-4,1,0)|+(-1) \cdot |(0,4,6),(3,2,-6),(0,-4,1)|$
Il risultato lo lascio a te.
EDIT
Ho corretto 2 indici e tolto l'ot perché il problema dell'anteprima non mi è più capitato... mah!
Se fossi moderatore io, però, ti perdonerei subito per il motivo appena detto.
Passando alla questione di Laplace, non so spiegarla nella sua mera teoria e mi servirò di un esempio.
Fai conto di avere una matrice $4 \times 4$ di cui calcolare il determinante:
$A_(i,j)=((a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3),a_(1,4)),(a_(2,1),a_(2,2),a_(2,3),a_(2,4)),(a_(3,1),a_(3,2),a_(3,3),a_(3,4)),(a_(4,1),a_(4,2),a_(4,3),a_(4,4)))$
La formula che sta sulla pagina wiki che t'ha segnalato garnak, a vederla è un po' incomprensibile. Essa è
$"Det"(A)= \sum_(j=1)^n (-1)^(i+j)a_(i,j) "Det"(A_(ij))$
Premettiamo che in essa
- $A_(ij)$ è la sottomatrice che si ottiene togliendo la riga $i$ e la colonna $j$ ad $A$
- la formula in sé dice "si fissa una riga (o colonna, ma non è quella la formula, andrebbe cambiata) qualsiasi e si fa variare la colonna da $1$ a $n$ (l'indice $j$) e si fa la somma dei singoli elementi a cui si moltiplica il determinante del minore. Tale somma non è proprio tale poiché c'è quel $(-1)^(i+j)$ che vale una volta $1$ e un'altra $-1$ a seconda dell'esponente.
Comunque torniamo al nostro esempio. Scegliamo la prima riga, abbiamo
$"Det"(A)=(-1)^(1+1)a_(1,1) "Det"(A_(11))+(-1)^(1+2)a_(1,2)"Det"(A_(12))+(-1)^(1+3)a_(1,3)"Det"(A_(13))+(-1)^(1+4)a_(1,4)"Det"(A_(14))$
Scegliendo invece della prima, la terza riga avremmo avuto, invece
$"Det"(A)=(-1)^(3+1)a_(3,1) "Det"(A_(31))+(-1)^(3+2)a_(3,2)"Det"(A_(32))+(-1)^(3+3)a_(3,3)"Det"(A_(33))+(-1)^(3+4)a_(3,4)"Det"(A_(34))$
Invece di sviluppare sulle righe, si può anche sviluppare sulle colonne: in pratica è esattamente una questione "speculare", poiché si sceglie una colonna e si calcola con una formula analoga facendo variare gli elementi lungo le righe.
Passiamo, ora, ad un esempio numerico, hai
$A=((0,4,6,2),(3,2,-6,1),(0,-4,1,0),(2,0,0,-1))$
Per calcolare il determinante, mi scelgo innanzitutto una riga "facile", direi l'ultima perché oltre ad avere il maggior numero di zeri, è anche quella che ha i coefficienti più bassi.
$"Det"(A)=(-1)^(4+1) \cdot 2 \cdot |(4,6,2),(2,-6,1),(-4,1,0)|+(-1)^(4+2) \cdot 0 \cdot |(0,6,2),(3,-6,1),(0,1,0)|+(-1)^(4+3) \cdot 0 \cdot |(0,4,2),(3,2,1),(0,-4,0)|+(-1)^(4+4) \cdot (-1) \cdot |(0,4,6),(3,2,-6),(0,-4,1)|$
$=(-1)^(4+1) \cdot 2 \cdot |(4,6,2),(2,-6,1),(-4,1,0)|+(-1)^(4+4) \cdot (-1) \cdot |(0,4,6),(3,2,-6),(0,-4,1)|$
$=(-2) \cdot |(4,6,2),(2,-6,1),(-4,1,0)|+(-1) \cdot |(0,4,6),(3,2,-6),(0,-4,1)|$
Il risultato lo lascio a te.
EDIT
Ho corretto 2 indici e tolto l'ot perché il problema dell'anteprima non mi è più capitato... mah!
Piccolo consiglio: invece di valutare ogni volta \((-1)^{i+j}\) è comodo scriversi una matrice di più e meno (alternati) che ti dà di volta in volta il segno del complemento algebrico; e.g. per una matrice \(4\times4\):
\[
\begin{bmatrix}
+&-&+&-\\
-&+&-&+\\
+&-&+&-\\
-&+&-&+
\end{bmatrix}
\]
edit: aggiungo calcoli
\[
\det\begin{bmatrix}
0&4&6&2\\
3&2&-6&1\\
0&-4&1&0\\
2&0&0&-1
\end{bmatrix}
=
-1\cdot2\cdot
\begin{vmatrix}
4&6&2\\
2&-6&1\\
-4&1&0
\end{vmatrix}
+1\cdot(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
0&4&6\\
3&2&-6\\
0&-4&1
\end{vmatrix}
\]
dove i coefficienti \(\pm1\) sono dedotti visivamente dalla tabellina sopra. Continuo lo sviluppo:
\[
\det\begin{bmatrix}
0&4&6&2\\
3&2&-6&1\\
0&-4&1&0\\
2&0&0&-1
\end{bmatrix}
=-2\cdot\left(
1\cdot(-4)\cdot
\begin{vmatrix}
6&2\\
-6&1
\end{vmatrix}
-1\cdot1\cdot
\begin{vmatrix}
4&2\\
2&1
\end{vmatrix}\right)
-1\cdot(-1)\cdot3\cdot
\begin{vmatrix}
4&6\\
-4&1
\end{vmatrix}
\]
ed infine:
\[
=
-2\cdot(-72+0)-(-84)=+228
\]
\[
\begin{bmatrix}
+&-&+&-\\
-&+&-&+\\
+&-&+&-\\
-&+&-&+
\end{bmatrix}
\]
edit: aggiungo calcoli
\[
\det\begin{bmatrix}
0&4&6&2\\
3&2&-6&1\\
0&-4&1&0\\
2&0&0&-1
\end{bmatrix}
=
-1\cdot2\cdot
\begin{vmatrix}
4&6&2\\
2&-6&1\\
-4&1&0
\end{vmatrix}
+1\cdot(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
0&4&6\\
3&2&-6\\
0&-4&1
\end{vmatrix}
\]
dove i coefficienti \(\pm1\) sono dedotti visivamente dalla tabellina sopra. Continuo lo sviluppo:
\[
\det\begin{bmatrix}
0&4&6&2\\
3&2&-6&1\\
0&-4&1&0\\
2&0&0&-1
\end{bmatrix}
=-2\cdot\left(
1\cdot(-4)\cdot
\begin{vmatrix}
6&2\\
-6&1
\end{vmatrix}
-1\cdot1\cdot
\begin{vmatrix}
4&2\\
2&1
\end{vmatrix}\right)
-1\cdot(-1)\cdot3\cdot
\begin{vmatrix}
4&6\\
-4&1
\end{vmatrix}
\]
ed infine:
\[
=
-2\cdot(-72+0)-(-84)=+228
\]
il risultato dovrebbe essere $-228$ ......ho risolto i determinanti 3x3 con la regola di sarrus.
Scusami friction , ma il tuo metodo sarà pur utile ma a prima acchitto penso che mi genererebbe maggior confusione.
Grazie cmq e grazie a te zero87.....adesso so cos è il crossposting e conosco il teorema del buon Laplace! Buona serata!!
Scusami friction , ma il tuo metodo sarà pur utile ma a prima acchitto penso che mi genererebbe maggior confusione.
Grazie cmq e grazie a te zero87.....adesso so cos è il crossposting e conosco il teorema del buon Laplace! Buona serata!!
"salfor76":
il risultato dovrebbe essere $-228$
Attenzione: il determinante viene $+228$. Avrai invertito tutti i segni...
"minomic":
[quote="salfor76"]il risultato dovrebbe essere $-228$
Attenzione: il determinante viene $+228$. Avrai invertito tutti i segni...
[/quote]Non mi stupirei se sono io il primo ad aver fatto casino con qualche segno: in fondo la matrice me la sono inventata.
Aggiungo solo che l'utilità della risposta di friction sta nel fatto che invece di fare $(-1)^("quello che è")$ ogni volta, ti segni direttamente i "posti" nella matrice dove vale $-1$ e dove vale $+1$. All'inizio aiuta molto il suo metodo.
"salfor76":
ho risolto i determinanti 3x3 con la regola di sarrus.
La regola di Sarrus è un metodo mnemonico (\(\implies\text{fa schifo}\)), il teorema di Laplace è un teorema (non l'avresti mai detto, vero?!
) che fornisce un metodo generale (quindi abituati ad usarlo) 
Riguardo l'utilità di questi esercizi, mi permetto di citare i prof. Verzini, Conti, Ferrario, Terracini, che propongono nel loro libro il seguente esercizio:
Scrivere i primi tre termini non nulli dello sviluppo di Taylor (non importa che tu sappia cos'è, ti basti sapere che è un esercizio di calcolo bruto come gli sviluppi di Laplace) della funzione \(\sin{x}-\sinh{x},\,x=0\), e nella soluzione riportano:"\(-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2520}x^7-\frac{1}{19958400}x^{11}+o(x^{11})\), andiamo, nessuno crede che questi esercizi si facciano davvero, o che servano a qualcosa! Né tantomeno esiste qualcuno che li fa davvero, da anni ormai. Trovate un CAS che vi sostituisca - cioè un sistema di calcolo simbolico al calcolatore (Maple, Mathematica, Derive o altri) e usate il vostro tempo prezioso per qualcosa di meglio, come leggere libri, studiare, parlare e, non ce ne dimentichiamo, pensare..."
Ovviamente tu devi farli lo stesso
"Zero87":
All'inizio aiuta molto il suo metodo.
Alla fine si usa Matlab!
@salfor76: ho modificato il mio post sopra, aggiungendo i calcoli; spero sia più chiaro qual è il vantaggio di fare quello che ti ho consigliato. Ovviamente devi usare il metodo col quale ti trovi più a tuo agio!
non l'avrei mai detto!
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