La radice con n pari
La questione della radice quadrata circa i risultati che puo' dare e' lungi dall'essere semplice.Se per curiosita' si fa un giro su internet vi accorgerete che si fa della matematica un'opinione.
Io ragiono cosi' quando ho' un dubbio.
Vediamo un po' di liberarci da tutte le influenze sull'argomento e partire come se fossimo noi a mettere le cose a posto
in questo contesto.(almeno proviamoci).
Cosa ci serve?
I numeri relativi cioe' l'insieme Z dei numeri positivi e negativi.
Prendiamone uno a caso.
-5 e + 5.
Ora facciamo l'elevamento a potenza pari es: il 2.
-5 alla seconda da' 25 cioe' e' come scrivere -1 * 5 alla seconda
+5 alla seconda da' 25
Ora voglio ritornare indietro cioe' dal 25 riottenere quei numeri che elevati al quadrato mi hanno dato il 25.
Do' a questa nuova funzione il nome di radice (parliamo di indice 2 e la chiameremo quadrata) gia' il termine di radice
ci da l'idea che dobbiamo fare qualche cosa di particolare.
Invento il simbolo e sotto ci metto il numero 25.
Come premessa ho detto che voglio fare l'operazione inversa del quadrato e riottengo cosi' -5 e +5.
Sto solo costruendo la logica che mi permette di fare le due operazioni.
Ora pero' nasce un problema.
Scrivo - 5 radice quadra di 1.Voglio fare il quadrato e metterlo sotto quel segno che ho inventato ma con una funzione precisa.
Ottengo quindi radice quadrata di 25.
Ora voglio applicare il passaggio inverso e qui nasce il problema perche' il passaggio inverso per come specificato prima mi da'
due risultati il 5 ma anche il -5.
Come facccio a sapere che sono partito dal -5? Ecco il problemino.
Devo trovare un artifizio che mi baipassi l'ostacolo.
Invece di scrivere -5 radice di 1 scrivo -1(5) radice di 1. Ottengo -1 radice di 25.Pero' non ho finito ancora devo
aggiungere una condizione e cioe' che l'estrazione dia un unico risultato positivo e cioe' il 5.
Quindi devo fare due cose:
1) Scrivere il numero negativo come ho fatto
2) mettere la condizione di estrarre un solo numero positivo.
Quando scrivo -1 radice di 25 posso omettere l'1 e scrivere - radice quadra di 25.
Vediamo se funziona?
Estraggo per la condizione messa solo il 5 che trovandosi il segno meno gia' presente fuori divente in maniera inequivocabile -5.
Qual'e' la morale?
Scrivere -+ radice di x e scrivere radice di x scrivo due cose perfettamente equivalenti.
Cioe' la radice quadrata nel campo di Z da' due risultati uno positivo e uno negativo ed e' solo per comodita'
e per non confondere che il segno -/+ viene messo fuori dalla radice.
L'espressione finale di una equazione di secondo grado riporta davanti alla radice i due segni ma
non sarebbe un errore ometterli in quanto la radice gia' da' i due valori.
O scegliamo una via o l'altra ma entrambe portano allo stesso risultato.
Io ragiono cosi' quando ho' un dubbio.
Vediamo un po' di liberarci da tutte le influenze sull'argomento e partire come se fossimo noi a mettere le cose a posto
in questo contesto.(almeno proviamoci).
Cosa ci serve?
I numeri relativi cioe' l'insieme Z dei numeri positivi e negativi.
Prendiamone uno a caso.
-5 e + 5.
Ora facciamo l'elevamento a potenza pari es: il 2.
-5 alla seconda da' 25 cioe' e' come scrivere -1 * 5 alla seconda
+5 alla seconda da' 25
Ora voglio ritornare indietro cioe' dal 25 riottenere quei numeri che elevati al quadrato mi hanno dato il 25.
Do' a questa nuova funzione il nome di radice (parliamo di indice 2 e la chiameremo quadrata) gia' il termine di radice
ci da l'idea che dobbiamo fare qualche cosa di particolare.
Invento il simbolo e sotto ci metto il numero 25.
Come premessa ho detto che voglio fare l'operazione inversa del quadrato e riottengo cosi' -5 e +5.
Sto solo costruendo la logica che mi permette di fare le due operazioni.
Ora pero' nasce un problema.
Scrivo - 5 radice quadra di 1.Voglio fare il quadrato e metterlo sotto quel segno che ho inventato ma con una funzione precisa.
Ottengo quindi radice quadrata di 25.
Ora voglio applicare il passaggio inverso e qui nasce il problema perche' il passaggio inverso per come specificato prima mi da'
due risultati il 5 ma anche il -5.
Come facccio a sapere che sono partito dal -5? Ecco il problemino.
Devo trovare un artifizio che mi baipassi l'ostacolo.
Invece di scrivere -5 radice di 1 scrivo -1(5) radice di 1. Ottengo -1 radice di 25.Pero' non ho finito ancora devo
aggiungere una condizione e cioe' che l'estrazione dia un unico risultato positivo e cioe' il 5.
Quindi devo fare due cose:
1) Scrivere il numero negativo come ho fatto
2) mettere la condizione di estrarre un solo numero positivo.
Quando scrivo -1 radice di 25 posso omettere l'1 e scrivere - radice quadra di 25.
Vediamo se funziona?
Estraggo per la condizione messa solo il 5 che trovandosi il segno meno gia' presente fuori divente in maniera inequivocabile -5.
Qual'e' la morale?
Scrivere -+ radice di x e scrivere radice di x scrivo due cose perfettamente equivalenti.
Cioe' la radice quadrata nel campo di Z da' due risultati uno positivo e uno negativo ed e' solo per comodita'
e per non confondere che il segno -/+ viene messo fuori dalla radice.
L'espressione finale di una equazione di secondo grado riporta davanti alla radice i due segni ma
non sarebbe un errore ometterli in quanto la radice gia' da' i due valori.
O scegliamo una via o l'altra ma entrambe portano allo stesso risultato.
Risposte
Il tuo scopo era quello di togliere i dubbi agli altri? A me sembra che tutto il discorso sia scritto in modo un po' confuso.Semplicemente il fatto è che seppur \(\displaystyle n^2 = (-n)^2 \) per ogni numero, nel definire l'inversa dell'elevamento ne dobbiamo scegliere una sola, altrimenti l'operazione non sarebbe ben definita. Allora quello che scegliamo è quello positivo. La scelta è assolutamente arbitraria, non cambierebbe nulla o quasi se scegliessimo sempre il negativo. Una scelta mista sarebbe invece più problematica.
Inoltre se si sceglie il numero positivo si fa si che la radice quadrata sia un operazione dei numeri non negativi e non tanto di tutti i numeri. Anche perché non è possibile (a meno di entrare nei numeri complessi) calcolare la radice quadrata di un numero negativo.
Bisogna comunque inoltre far notare che nella storia dell'algebra l'elemento geometrico è stato molto importante e che spesso in geometria ha poco senso usare numeri negativi per lunghezze.
A questo punto, deciso cosa fa \(\displaystyle \sqrt{\bullet} \) (il \(\displaystyle \bullet \) indica solo che ci devi mettere qualcosa dentro), nel trovare le soluzioni dell'equazione \(\displaystyle x^2 = a \) sappiamo che dobbiamo prendere entrambi i numeri che elevato al quadrato danno \(\displaystyle a \) e quindi, trovato uno (\(\displaystyle \sqrt{a} \)) ci rimane solamente di prendere l'altro (\(\displaystyle -\sqrt{a} \)). La scrittura \(\displaystyle \pm \) indica solo che \(\displaystyle x \) può essere o uno o l'altro. Nel caso di problemi geometrici, non ha comunque senso prendere quello negativo e quindi ci si può limitare a prendere quello positivo.
Salve
Ti chiedo una cortesia potresti dirmi dove hai notato la confusione? Cosi' magari se riesco cerco di esprimermi meglio.
In particolare dimmi se condividi:
Qual'e' la morale?
Scrivere -+ radice di x e scrivere radice di x scrivo due cose perfettamente equivalenti.
Cioe' la radice quadrata nel campo di Z da' due risultati uno positivo e uno negativo ed e' solo per comodita'
e per non confondere che il segno -/+ viene messo fuori dalla radice.
L'espressione finale di una equazione di secondo grado riporta davanti alla radice i due segni ma
non sarebbe un errore ometterli in quanto la radice gia' da' i due valori.
O scegliamo una via o l'altra ma entrambe portano allo stesso risultato.
Grazie.
P.S. Forse ho capito il motivo della "confusione" c'era un errore ho scritto un 5 al posto di 25.
Se hai la pazienza di rileggerlo forse e' un po' piu' chiaro.
Scusami.
Ti chiedo una cortesia potresti dirmi dove hai notato la confusione? Cosi' magari se riesco cerco di esprimermi meglio.
In particolare dimmi se condividi:
Qual'e' la morale?
Scrivere -+ radice di x e scrivere radice di x scrivo due cose perfettamente equivalenti.
Cioe' la radice quadrata nel campo di Z da' due risultati uno positivo e uno negativo ed e' solo per comodita'
e per non confondere che il segno -/+ viene messo fuori dalla radice.
L'espressione finale di una equazione di secondo grado riporta davanti alla radice i due segni ma
non sarebbe un errore ometterli in quanto la radice gia' da' i due valori.
O scegliamo una via o l'altra ma entrambe portano allo stesso risultato.
Grazie.
P.S. Forse ho capito il motivo della "confusione" c'era un errore ho scritto un 5 al posto di 25.
Se hai la pazienza di rileggerlo forse e' un po' piu' chiaro.
Scusami.
In generale, mi sembra che il discorso sia un po' poco mirato e dispersivo. Ma forse è solo che sono abituato a testi molto più formali.
Su questa parte ho qualche commento.
"EMIT":
Cioe' la radice quadrata nel campo di Z da' due risultati uno positivo e uno negativo ed e' solo per comodita'
e per non confondere che il segno -/+ viene messo fuori dalla radice.
L'espressione finale di una equazione di secondo grado riporta davanti alla radice i due segni ma
non sarebbe un errore ometterli in quanto la radice gia' da' i due valori.
O scegliamo una via o l'altra ma entrambe portano allo stesso risultato.
Su questa parte ho qualche commento.
- [*:2pfn31e2] Il segno \(\displaystyle - \) viene messo fuori dalla radice perché \(\displaystyle \sqrt{-n} \) non ha senso in \(\displaystyle \mathbb{R} \), penso che tu lo sappia ma scritto così non ha molto senso;[/*:m:2pfn31e2]
[*:2pfn31e2] In realtà non metterli è sbagliato. Il fatto è che con \(\displaystyle \sqrt{m} \) con \(\displaystyle m \) ben definito si intende un numero positivo particolare, mentre quando visibilmente metti lo stesso simbolo intorno ad una equazione si ricercano tutte le radici. A rigore bisognerebbe fare una certa attenzione quando si mette la radice intorno a qualcosa e comprendere se si cerca una o tutte le soluzioni.[/*:m:2pfn31e2][/list:u:2pfn31e2]
Per intenderci, scrivere:
\begin{align}
x^2 - 2&= 0 \\
x^2 &= 2 \\
x &= \pm\sqrt{2}
\end{align}
è, ritengo, formalmente più corretto di:
\begin{align}
x^2 - 2&= 0 \\
x^2 &= 2 \\
\sqrt{x^2} &= \sqrt{2} \\
x &= \pm\sqrt{2}
\end{align}
e senza dubbio di
\begin{align}
x^2 - 2&= 0 \\
x^2 &= 2 \\
\sqrt{x^2} &= \sqrt{2} \\
x &= \sqrt{2}
\end{align}
È spesso sufficiente saper trovare le soluzioni comunque. Eccessiva formalità è proprio per matematici. Il problema comunque è che senza le dovute attenzioni si finisce per fare errori o credere di aver dimostrato assurdità.
Alla bella spiegazione di vict85 aggiungo qualcosa molto terra-terra.
Falso, a meno che tu inventi un simbolo di radice diverso da quello solito. Se in un compito in classe tu risolvessi l'equazione $x^2=3$ scrivendo $x=sqrt3$ troveresti un segno di errore per la mancanza del $+-$ e infatti quel simbolo indica il numero positivo che elevato al quadrato dà 3. Si tratta di una definizione e rende più facile ragionare perché fa corrispondere alla radice un solo numero; si usa dire che la radice viene intesa in senso aritmetico. Se pensi anche alla soluzione negativa, la scrivi premettendo il $+-$ e si dice che la pensi in senso algebrico.
Solo nello studio dei numeri complessi (li vedrai in futuro) la radice è sempre in senso algebrico e non occorre il $+-$.
Ti invito ad imparare a scrivere le formule: è facile e se hai problemi ti basta chiedere consigli,
"EMIT":
Scrivere -+ radice di x e scrivere radice di x scrivo due cose perfettamente equivalenti.
Falso, a meno che tu inventi un simbolo di radice diverso da quello solito. Se in un compito in classe tu risolvessi l'equazione $x^2=3$ scrivendo $x=sqrt3$ troveresti un segno di errore per la mancanza del $+-$ e infatti quel simbolo indica il numero positivo che elevato al quadrato dà 3. Si tratta di una definizione e rende più facile ragionare perché fa corrispondere alla radice un solo numero; si usa dire che la radice viene intesa in senso aritmetico. Se pensi anche alla soluzione negativa, la scrivi premettendo il $+-$ e si dice che la pensi in senso algebrico.
Solo nello studio dei numeri complessi (li vedrai in futuro) la radice è sempre in senso algebrico e non occorre il $+-$.
Ti invito ad imparare a scrivere le formule: è facile e se hai problemi ti basta chiedere consigli,
Premesso che siamo nel campo dei numeri Z.
Se scrivo +- radice di 4 ho come risultato +- 2
Se scrivo solo radice di 4 non ho forse gli stessi risultati ?
Considerando l'insieme e' implicito che stiamo parlando di radici algebriche.
Io mi ero chiesto come mai avessimo due rappresentazioni per un unico risultato.
E quello che ho scritto poteva darne forse una giustificazione.
Mi rendo conto che non scrivendo le formule anche semplici la lettura e' veramente disagevole.
Se potete aiutarmi a scriverle
Grazie.
Se scrivo +- radice di 4 ho come risultato +- 2
Se scrivo solo radice di 4 non ho forse gli stessi risultati ?
Considerando l'insieme e' implicito che stiamo parlando di radici algebriche.
Io mi ero chiesto come mai avessimo due rappresentazioni per un unico risultato.
E quello che ho scritto poteva darne forse una giustificazione.
Mi rendo conto che non scrivendo le formule anche semplici la lettura e' veramente disagevole.
Se potete aiutarmi a scriverle
Grazie.
Anche se lavoriamo in $Z$ (non sarebbe meglio farlo in $R$?) la definizione del simbolo di radice quadrata non cambia: quel simbolo indica la soluzione positiva, quindi $sqrt 4=+2$.
Per la scrittura delle formule, nel riquadro rosa in alto trovi il rimando alla guida ma per ora non ti è neanche necessario: prendi un intervento in cui ci siano formule e premi CITA: ti comparirà quello che è stato digitato e potrai imitarlo. Ovviamente, prima di spedire cancella la citazione.
Per la scrittura delle formule, nel riquadro rosa in alto trovi il rimando alla guida ma per ora non ti è neanche necessario: prendi un intervento in cui ci siano formule e premi CITA: ti comparirà quello che è stato digitato e potrai imitarlo. Ovviamente, prima di spedire cancella la citazione.
Salve
Se faccio la radice quadrata di 4 dovrei prendere tutti i numeri il cui quadrato mi da 4 e cioe' +-2 se partiamo dal presupposto che la radice quadrata sia esattamente l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato.
Se restringiamo il dominio solo ai numeri positivi sono daccordo con te.
Se poi nella nostra realta' ha senso prendere solo il valore positivo sono con te.
Ti chiedo molto semplicemente ;la radice quadrata di un numero logicamente positivo da' due valori uno positivo e uno negativo?
Es: radice quadrata di 64 da' come valori +-8 ? (in Z)
Per inciso ho gia' una laurea e non sono piu' un ragazzino e devo anche dire che sono stato bannato da un forum di astrofisica
perche' mi sono scontrato con laureati e laureandi in fisica proprio per questi particolari in quanto sostenevo che nelle trasformate di Lorentz in R.R. matematicamente poteva aver senso considerare anche il valore negativo della radice.
E' qui e' successo il finimondo in quanto forse non avevano capito quel matematicamente pensando invece alle conseguenze fisiche.
Lo scopo quindi della mia presenza pur essendo convinto che si devono prendere due valori uno + e uno - e' di sentire
il parere dei matematici comunque.
Ti ringrazio della pazienza.
Se faccio la radice quadrata di 4 dovrei prendere tutti i numeri il cui quadrato mi da 4 e cioe' +-2 se partiamo dal presupposto che la radice quadrata sia esattamente l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato.
Se restringiamo il dominio solo ai numeri positivi sono daccordo con te.
Se poi nella nostra realta' ha senso prendere solo il valore positivo sono con te.
Ti chiedo molto semplicemente ;la radice quadrata di un numero logicamente positivo da' due valori uno positivo e uno negativo?
Es: radice quadrata di 64 da' come valori +-8 ? (in Z)
Per inciso ho gia' una laurea e non sono piu' un ragazzino e devo anche dire che sono stato bannato da un forum di astrofisica
perche' mi sono scontrato con laureati e laureandi in fisica proprio per questi particolari in quanto sostenevo che nelle trasformate di Lorentz in R.R. matematicamente poteva aver senso considerare anche il valore negativo della radice.
E' qui e' successo il finimondo in quanto forse non avevano capito quel matematicamente pensando invece alle conseguenze fisiche.
Lo scopo quindi della mia presenza pur essendo convinto che si devono prendere due valori uno + e uno - e' di sentire
il parere dei matematici comunque.
Ti ringrazio della pazienza.
La radice quadrata non è esattamente l'operazione inversa dell'elevazione al quadrato. Infatti si può parlare di funzione invertibile e di operazione inversa solo quando da $y=f(x)$ si può ricavare la $x$ in un unico modo; invece da $y=x^2$ si ricavano due valori di $x$ e quindi l'elevazione a quadrato non è invertibile. Lo diventa se stabilisci di considerare solo una delle due soluzioni.
Mi chiedi: "la radice quadrata di un numero logicamente positivo da' due valori uno positivo e uno negativo?". La risposta è: dipende da se intendi la radice in senso aritmetico o algebrico. Quello che invece non ne dipende è la scrittura: quando una radice è scritta, va intesa in senso aritmetico.
Mi chiedi: "la radice quadrata di un numero logicamente positivo da' due valori uno positivo e uno negativo?". La risposta è: dipende da se intendi la radice in senso aritmetico o algebrico. Quello che invece non ne dipende è la scrittura: quando una radice è scritta, va intesa in senso aritmetico.
@ vict85
Scusami, ma ritengo la forma
$x^2-2=0$ da cui $x^2=2$ e poi $sqrt(x^2)=sqrt2$ assolutamente corretta perché equivale a $|x|=sqrt2$ da cui
$x=+- sqrt2$
Scusami, ma ritengo la forma
$x^2-2=0$ da cui $x^2=2$ e poi $sqrt(x^2)=sqrt2$ assolutamente corretta perché equivale a $|x|=sqrt2$ da cui
$x=+- sqrt2$
"@melia":
@ vict85
Scusami, ma ritengo la forma .....
Vorrei dare questa impostazione al problema e sentire se siete daccordo.
Il campo di appartenenza e' sempre Z.
Se prendo un numero qualsiasi esiste sia con il segno + che con il -.
Se lo elevo al quadrato ottengo sempre un numero positivo.
Ora pero' mi serve una funzione che mi permetta da quel quadrato poter ritornare ai due numeri che lo hanno costruito.
Questa funzione e' la radice quadrata.
Ricordiamo che siamo in Z.
In sintesi allora la radice quadrata(logicamente di un numero positivo)per definizione mi da' due numeri uno positivo e uno negativo.
Il problema e', in un contesto matematico,quale scegliere.
Per fare la scelta giusta devo sapere da quali numeri sono partito.Es:
Prendiamo il teorema di Pitagora.
Parto dando ad un lato un numero positivo (l'ho imposto io cosi')e cosi' anche l'altro.
Cioe' parto da due grandezze definite con precisione cioe' positive.
Quando calcolo l'ipotenusa io faccio il quadrato di due grandezze positive (se per un attimo volessi tornare indietro non posso
considerare che quel quadrato proviene da un numero negativo perche' per ipotesi sono partito da un numero
positivo) .Faccio la somma quindi sotto radice di due grandezze positive e l'estrazione del numero il cui quadrato
e' il valore sotto radice non potra' mai essere negativo perche' va contro l'ipotesi.
Ecco allora che il contesto matematico e' di fondamentale importanza per stabilire quale valore prendere.
In sintesi non si puo' stabilire a priori avendo davanti una radice quadrata se il valore che ne scaturisce sia positivo o negativo o entrambi
senza sapere quale sia il contesto che l'abbia creata.
Nella vita di tutti i giorni il problema certo non sussiste in quanto tutte le grandezze numeriche che affrontiamo hanno
il segno positivo per cui il valore della radice e' unico.
Questo per cio' che riguarda i valori numerici .
Se invece del valore numerico ci troviamo di fronte ad una variabile sotto radice le cose cambiano in quanto il contesto
algebrico nel quale si trova e' indefinito da questo punto di vista.
Per cui dobbiamo sempre prendere i due valori non sapendo se la variabile proviene da un + o da un -.
Dopo averli presi si cerca di valutare la loro corrispondenza con la realta' ed eventualmente scartarne uno.
Non so se conoscete le formule di Lorentz in R.R. ma siccome provengono da una impostazione di c,v,t (nell'orologio a luce) che stabiliamo positive
in partenza la loro "mescolanza" e il relativo valore finale sotto radice per quanto detto sara' sempre e comunque relazionato con un numero positivo.
Per cui si avra' t1=kt ma mai t1=-kt.
Scusate se mi sono dilungato un po' su una questione che probabilmente giudicherete banale ma non e'
cosi' per tutti.
Grazie.
Nel complesso sono abbastanza d'accordo ma il partire da un numero positivo non garantisce la positività del risultato. Ad esempio ricordiamo la formula $sin^2x+cos^2x=1$ e supponiamo che si abbia $x=150°$ e quindi $sin x=1/2$, positivo. Si ha però
$cos x=-sqrt(1-sin^2x)=-sqrt(1-1/4)=-(sqrt3)/2$
in cui il meno deriva dal fatto che siamo nel secondo quadrante, in cui il coseno è negativo.
In generale ogni volta che si estrae una radice ci si pone la domanda: accetto entrambi i segni o uno solo? E quale? Si dà la risposta in quel momento e subito si scrive il segno (o i segni) accettato in base a qualche ragionamento. Quando la soluzione è scritta, il suo significato è univoco; noti certo che nella formula ho messo subito il segno meno.
Per quanto concerne le variabili sotto radice, penso che tu ricordi che $sqrt (x^2)=|x|$.
$cos x=-sqrt(1-sin^2x)=-sqrt(1-1/4)=-(sqrt3)/2$
in cui il meno deriva dal fatto che siamo nel secondo quadrante, in cui il coseno è negativo.
In generale ogni volta che si estrae una radice ci si pone la domanda: accetto entrambi i segni o uno solo? E quale? Si dà la risposta in quel momento e subito si scrive il segno (o i segni) accettato in base a qualche ragionamento. Quando la soluzione è scritta, il suo significato è univoco; noti certo che nella formula ho messo subito il segno meno.
Per quanto concerne le variabili sotto radice, penso che tu ricordi che $sqrt (x^2)=|x|$.
"giammaria":
il partire da un numero positivo non garantisce la positività del risultato...
Ottima deduzione.
Grazie.
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