La primitiva di funzione pari
salve qualcuno mi potrebbe dimostrare se la primitiva di una funzione pari è una funzione dispari mostranomi i vari passaggi?
grazie in anticipo!
grazie in anticipo!
Risposte
In generale la risposta è no.
Prendi $f(x)=x^2$ che è pari, una sua primitiva è $F(x)=x^3/3+7$ che non è dispari, certo si può dimostrare che tra tutte le primitive una è dispari, ma tutte le altre non lo sono.
Prendi $f(x)=x^2$ che è pari, una sua primitiva è $F(x)=x^3/3+7$ che non è dispari, certo si può dimostrare che tra tutte le primitive una è dispari, ma tutte le altre non lo sono.
La domanda è decisamente mal posta, ma io la interpreterei come "se una primitiva è una funzione dispari, allora la funzione integranda è pari" e se è così occorre una risposta diversa.
Pongo la domanda in altri termini: dimostrare che la derivata di una funzione pari è dispari, e viceversa.
Io risponderei usando la definizione di derivata; lo faccio nel caso di funzione pari. Con la sostituzione $h=-k$ si ha
$f'(-x)=lim_(h->0)(f(-x+h)-f(-x))/h=lim_(k->0)(f(-x-k)-f(-x))/(-k)=$
$=lim_(k->0)(f(x+k)-f(x))/(-k)=-f'(x)$
Pongo la domanda in altri termini: dimostrare che la derivata di una funzione pari è dispari, e viceversa.
Io risponderei usando la definizione di derivata; lo faccio nel caso di funzione pari. Con la sostituzione $h=-k$ si ha
$f'(-x)=lim_(h->0)(f(-x+h)-f(-x))/h=lim_(k->0)(f(-x-k)-f(-x))/(-k)=$
$=lim_(k->0)(f(x+k)-f(x))/(-k)=-f'(x)$
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