La parabola con asse parallelo all'asse x

[dave2701]

aiuto come fare l'esercizio : scrivi l'equazione del luogo dei punti equidistanti da F(-1;-1) e dalla retta di equazione x=-3/2

[Ali Q]

Ecco a te:

La figura geometrica descritta è una parabola ad asse orizzontale. La retta prende il nome di "direttrice" e il punto F di "fuoco".

Una parabola siffatta ha equazione generica:

[math]x = ay^2 + by + c[/math]

Occorre trovare

[math]a, b, c[/math]

.

Il fuoco ha coordinate:

[math]xf = \frac{1-b^2 +4ac}{4a}[/math]

[math]yf = \frac{-b}{2a}[/math]

Quindi:

[math]yf = -1 = \frac{-b}{2a}[/math]

[math]1 = \frac{b}{2a}[/math]

[math]b = 2a[/math]

Allora, sostituendo...

[math]xf = -1= \frac{1-(2a)^2 +4ac}{4a}[/math]

[math]xf = -1= \frac{1- 4a^2 +4ac}{4a}[/math]

Andiamo avanti...
La retta direttrice vale...

[math]x = -\frac{1+ b^2 -4ac}{4a}[/math]

[math]x = -3/2 = -\frac{1+ (2a)^2 -4ac}{4a}[/math]

[math] 3/2 = \frac{1+ 4a^2 -4ac}{4a}[/math]

[math]4a*3/2 = 1+ 4a^2 -4ac[/math]

[math]6a = 1 +4a^2 -4ac[/math]

[math]6a -4a^2 -1 = -4ac[/math]

[math]4a^2 -6a + 1 = 4ac[/math]

[math]c = (4a^2 -6a + 1)/4a[/math]

Riprendiamo l'equazione di xf.

[math]xf = -1= \frac{1- 4a^2 +4ac}{4a}[/math]

Sostituiamo il risultato appena ottenuto...

[math]xf = -1= \frac{1- 4a^2 +(4a^2 -6a + 1)}{4a}[/math]

[math]xf = -1= \frac{1 -6a + 1)}{4a}[/math]

[math]xf = -1= \frac{-6a + 2)}{4a}[/math]

[math]xf = -4a= -6a + 2[/math]

[math]xf = 2a = 2[/math]

[math]a = 1[/math]

Quindi, ricordando le precedenti relazioni...

[math]b = 2a = 2[/math]

[math]c = (4a^2 -6a + 1)/4a =(4 -6 + 1)/4 = -1/4 [/math]

Fine. Ciao!!!