La messa in evidenza dei gruppi ( trinomio )
scusate, oggi a scuola la nostra prof. ci ha spiegato lamessa in evidenza di un trinomio quello del quadrinomio lo abbiamo già fatto:
cmq mi servirebbe urgentemente aiuto siccome tra 1 settimana ho un test e su questa messa in evidenza non ho capito molto:
faccio un esempio; x^2 + 3x + 12
mi spiegate passo per passo come lo devo risolvere ( devo mettere in evidenza )
cmq mi servirebbe urgentemente aiuto siccome tra 1 settimana ho un test e su questa messa in evidenza non ho capito molto:
faccio un esempio; x^2 + 3x + 12
mi spiegate passo per passo come lo devo risolvere ( devo mettere in evidenza )
Risposte
spiegati meglio, dovresti scomporre l'equazione?
sisi giusto scomporre poi mettere in evidenza
Parli di mettere in evidenza, ma probabilmente intendi dire scomporre in fattori. Con la regola che ti è stata spiegata non si può scomporre qualsiasi trinomio, e il tuo esempio è proprio fra quelli non scomponibili, quindi lo modifico considerando invece $x^2+8x+12$. Per ora ha messo solo segni +, in modo da non preoccuparmi del segno; noto che il primo coefficiente è 1 (se non fosse così, la regola è lievemente diversa). Il trucco è scrivere al posto del numero intermedio due numeri che diano quell numero come somma e permettano un raccoglimento a gruppi. Per trovarli mi chiedo quali prodotti danno come risultato 12; sono 1*12, 2*6, 3*4; sommo i due fattori ottenendo 13, 8, 7. Guardo se una di queste somme coincide col coefficiente intermedio (se non succede, il trinomio non è scomponibile con questa regola) e noto che vanno bene 2 e 6, quindi scrivo
$x^2+8x+12=x^2+2x+6x+12=...$
Ho così ottenuto un quadrinomio e puoi continuare con la regola che conosci.
Se i segni non sono tutti +, il ragionamento è lo stesso, ma devi pensare anche al segno dei due numeri; in particolare, se il termine noto è negativo i due numeri hanno segno diverso e la loro somma algebrica è in realtà un differenza di valori assoluti. Esempio: $x^2-x-12=x^2-4x+3x-12=...$
$x^2+8x+12=x^2+2x+6x+12=...$
Ho così ottenuto un quadrinomio e puoi continuare con la regola che conosci.
Se i segni non sono tutti +, il ragionamento è lo stesso, ma devi pensare anche al segno dei due numeri; in particolare, se il termine noto è negativo i due numeri hanno segno diverso e la loro somma algebrica è in realtà un differenza di valori assoluti. Esempio: $x^2-x-12=x^2-4x+3x-12=...$
grazie, ora potresti spiegarmi come mettere in evidenza tutto il quadrinomio velocemente ?
Riprendo i due esempi precedenti, dal punto in cui li ho abbandonati.
$x^2+2x+6x+12=x(x+2)+6(x+2)=(x+2)(x+6)$
$x^2-4x+3x-12=x(x-4)+3(x-4)=(x-4)(x+3)$
Osserva ora i risultati: sommati ad x, ci sono proprio i due numeri che avevo trovato (+2 e +6 nel primo esempio, -4 e +3 nel secondo). Questa è la regola per fare velocemente la scomposizione: dopo aver trovato i due numeri che hanno per prodotto il termine noto e per somma il coefficiente di $x$, il tutto è uguale al prodotto di due fattori, entrambi dati da $x$ più uno di quei numeri.
E' importante però ricordare che questa regola veloce vale solo nel caso in cui il coefficiente di $x^2$ è 1; se questo non succede, il tutto va modificato in questo modo: trovare due numeri che diano per somma il coefficiente di $x$ e per prodotto il prodotto fra il primo e l'ultimo coefficiente; fare veramente i calcoli nel modo lungo indicato sopra. Esempio: scomporre in fattori $3x^2-14x+8$. Il prodotto fra primo e ultimo coefficiente è 3*8=24, che può essere ottenuto da 1*24, 2*12, 3*8, 4*6. Il prodotto è positivo, quindi i due numeri hanno lo stesso segno; la somma è -14, quindi scelgo -2 e -12. Allora
$...=3x^2-2x-12x+8=x(3x-2)-4(3x-2)=(3x-2)(x-4)$
Qui non ci sono metodi abbreviati (o meglio, si possono anche trovare, ma complicando non poco il tutto).
NOTERELLA: è la seconda volta che dici "mettere in evidenza" intendendo "scomporre in fattori". Forse è solo un lapsus, e allora ti conviene fare attenzione; se invece non ti è chiara la differenza fra le due frasi, chiedi.
$x^2+2x+6x+12=x(x+2)+6(x+2)=(x+2)(x+6)$
$x^2-4x+3x-12=x(x-4)+3(x-4)=(x-4)(x+3)$
Osserva ora i risultati: sommati ad x, ci sono proprio i due numeri che avevo trovato (+2 e +6 nel primo esempio, -4 e +3 nel secondo). Questa è la regola per fare velocemente la scomposizione: dopo aver trovato i due numeri che hanno per prodotto il termine noto e per somma il coefficiente di $x$, il tutto è uguale al prodotto di due fattori, entrambi dati da $x$ più uno di quei numeri.
E' importante però ricordare che questa regola veloce vale solo nel caso in cui il coefficiente di $x^2$ è 1; se questo non succede, il tutto va modificato in questo modo: trovare due numeri che diano per somma il coefficiente di $x$ e per prodotto il prodotto fra il primo e l'ultimo coefficiente; fare veramente i calcoli nel modo lungo indicato sopra. Esempio: scomporre in fattori $3x^2-14x+8$. Il prodotto fra primo e ultimo coefficiente è 3*8=24, che può essere ottenuto da 1*24, 2*12, 3*8, 4*6. Il prodotto è positivo, quindi i due numeri hanno lo stesso segno; la somma è -14, quindi scelgo -2 e -12. Allora
$...=3x^2-2x-12x+8=x(3x-2)-4(3x-2)=(3x-2)(x-4)$
Qui non ci sono metodi abbreviati (o meglio, si possono anche trovare, ma complicando non poco il tutto).
NOTERELLA: è la seconda volta che dici "mettere in evidenza" intendendo "scomporre in fattori". Forse è solo un lapsus, e allora ti conviene fare attenzione; se invece non ti è chiara la differenza fra le due frasi, chiedi.
grazie mille sei molto gentile, per essere sicuro voglio fare altri due esempi :
8x^2 - 22x + 12= allora io ora devo moltiplicare il primo e l'ultimo prodotto ovvero: 8*12= 96 ora devo esaminarlo e trovare i suoi multipli comuni :
1*96, 2*48, 3*32, 4*24, 6*16, 8*12, dovrebbero essere tutti... la somma e -22 , quindi scelgo -16 e -6
quindi : 8x^2 -16x -6x + 12 = 8x(x-2) -6(x-2) = (x-2)(8x-6) potresti affermare che è giusto ??? se si ti ringrazio moltissimo XD
Ieri mentre stavo facendo qualche esercizio è comparso questo x^4 -2x^2 -15 che non sono riuscito a scomporre quindi chiedo ancora una volta il tuo aiuto.
Non vorrei solamente il risultato siccome non servirebbe a molto ma anche i passaggi e il perché di quei passaggi, così potrò affermare che ho capito qualcosa.
8x^2 - 22x + 12= allora io ora devo moltiplicare il primo e l'ultimo prodotto ovvero: 8*12= 96 ora devo esaminarlo e trovare i suoi multipli comuni :
1*96, 2*48, 3*32, 4*24, 6*16, 8*12, dovrebbero essere tutti... la somma e -22 , quindi scelgo -16 e -6
quindi : 8x^2 -16x -6x + 12 = 8x(x-2) -6(x-2) = (x-2)(8x-6) potresti affermare che è giusto ??? se si ti ringrazio moltissimo XD
Ieri mentre stavo facendo qualche esercizio è comparso questo x^4 -2x^2 -15 che non sono riuscito a scomporre quindi chiedo ancora una volta il tuo aiuto.
Non vorrei solamente il risultato siccome non servirebbe a molto ma anche i passaggi e il perché di quei passaggi, così potrò affermare che ho capito qualcosa.
Il primo esercizio è giusto, e c'è un modo facile per controllare: facendo la moltiplicazione ottenuta a secondo membro, si ritorna al polinomio iniziale. Naturalmente non copi in bella questa moltiplicazione, che serve solo di controllo. Solo una piccola osservazione: come prima cosa, sarebbe stato meglio mettere in evidenza 2. Si pensa agli altri tipi di scomposizione in fattori solo dopo aver controllato che non si può mettere niente in evidenza.
Per il secondo: cominciamo a porre $x^2=t$, con il che ottieni $=t^2-2t-15$. Il prodotto è -15, e pensiamo a 1*15, 3*5: c'è però il segno meno, quindi i due numeri devono avere segni opposti; poiché la somma è -2, i numeri sono -5, +3. Il primo coefficiente è 1, quindi si può usare la regola abbreviata:
$=(t-5)(t+3)=(x^2-5)(x^2+3)$
Per il secondo: cominciamo a porre $x^2=t$, con il che ottieni $=t^2-2t-15$. Il prodotto è -15, e pensiamo a 1*15, 3*5: c'è però il segno meno, quindi i due numeri devono avere segni opposti; poiché la somma è -2, i numeri sono -5, +3. Il primo coefficiente è 1, quindi si può usare la regola abbreviata:
$=(t-5)(t+3)=(x^2-5)(x^2+3)$
grazie, bello l'esempio del t rende tutto piu semplice, ma sei solo un utente o sei pure un prof di mate ??
Diciamo che sono una persona di cui ti puoi fidare; certo, anche io ogni tanto sbaglio.
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