La matematica dominerà il mondo...io sarò già morto
Ciao a tutti^^ gentilmente mi servirebbero i procedimenti per risolvere questi problemini:
-Determinare il perimetro di un triangolo isoscele sapendo che l'altezza relativa alla base misura 16k e quella relativa al lato misura 19,2k.
-L’altezza di un trapezio isoscele è 1/3 della base minore che a sua volta è 2/3 della base maggiore e la somma dei tre segmenti è 34. Dimostra che i due triangoli che si ottengono prolungando i lati obliqui sono simili e determina le loro aree
Grazie!!!
-Determinare il perimetro di un triangolo isoscele sapendo che l'altezza relativa alla base misura 16k e quella relativa al lato misura 19,2k.
-L’altezza di un trapezio isoscele è 1/3 della base minore che a sua volta è 2/3 della base maggiore e la somma dei tre segmenti è 34. Dimostra che i due triangoli che si ottengono prolungando i lati obliqui sono simili e determina le loro aree
Grazie!!!
Risposte
1)
In un triangolo isoscele sappiamo che:
l^2 = (b/2)^2 + h^2
ma sappiamo anche che l'altezza relativa al lato (k) equivale a:
k = b * h / l e, ricavando b
b = l * k / h = l * 19,2 / 16 = l * 1,2
sostituiamo nella formula iniziale e otteniamo:
l^2 = (l * 1,2 / 2)^2 + 16^2
l^2 = (l * 0,6)^2 + 256
l^2 = 0,36 * l^2 + 256
l^2 * (1 - 0,36 ) = 256
0,64 * l^2 = 256 da cui l = sqr (256 / 0,64) = sqr 400 = 20k
ma dall'inizio sappiamo che:
b = 1,2 * l = 1,2 * 20 = 24k
Il perimetro sarà quindi:
p = 2*l + b = 2*20 + 24 = 64k
... adesso penso all'altro :hi
Aggiunto 29 minuti più tardi:
:con
per il secondo problema per ora ti so solo dire che se chiamiamo ABCD il trapezio (con AD e BC i lati obliqui) e P il punto d'incontro dei prolungamenti di AD e BC, i triangoli ABP e DCP sono simili perchè hanno gli angoli corrispondenti congruenti:
L'angolo in P e comune ai due triangoli mentre gli angoli ABP e DCP (uguali ad BAP e CDP perchè il trapezio è isoscele) sono uguali perchè angoli corrispondenti di due parallele (le basi del trapezio) tagliate da una trasversale (i lati obliqui)...
... purtroppo non riesco a trovare il bandolo per risolvere il problema delle aree dei triangoli...
In un triangolo isoscele sappiamo che:
l^2 = (b/2)^2 + h^2
ma sappiamo anche che l'altezza relativa al lato (k) equivale a:
k = b * h / l e, ricavando b
b = l * k / h = l * 19,2 / 16 = l * 1,2
sostituiamo nella formula iniziale e otteniamo:
l^2 = (l * 1,2 / 2)^2 + 16^2
l^2 = (l * 0,6)^2 + 256
l^2 = 0,36 * l^2 + 256
l^2 * (1 - 0,36 ) = 256
0,64 * l^2 = 256 da cui l = sqr (256 / 0,64) = sqr 400 = 20k
ma dall'inizio sappiamo che:
b = 1,2 * l = 1,2 * 20 = 24k
Il perimetro sarà quindi:
p = 2*l + b = 2*20 + 24 = 64k
... adesso penso all'altro :hi
Aggiunto 29 minuti più tardi:
:con
per il secondo problema per ora ti so solo dire che se chiamiamo ABCD il trapezio (con AD e BC i lati obliqui) e P il punto d'incontro dei prolungamenti di AD e BC, i triangoli ABP e DCP sono simili perchè hanno gli angoli corrispondenti congruenti:
L'angolo in P e comune ai due triangoli mentre gli angoli ABP e DCP (uguali ad BAP e CDP perchè il trapezio è isoscele) sono uguali perchè angoli corrispondenti di due parallele (le basi del trapezio) tagliate da una trasversale (i lati obliqui)...
... purtroppo non riesco a trovare il bandolo per risolvere il problema delle aree dei triangoli...
Max, visto che ti sei fermato, spero non sia un problema se lo continuo io...
per prima cosa determiniamo le varie misure.
chiamo
base minore=
altezza
quindi imposto la somma:
quindi base minore=
il lato obliquo AD si trova attraverso il teorema di pitagora, usando l'altezza DH e la base AH del triangolo rettangolo AHD
Dato che i triangoli sono simili possiamo impostare la relazione
AB:CD=AP:CP
cioè base maggiore:base minore =lato obliquo del triangolo grande: lato del triangolo piccolo
che possiamo riscrivere come AB:CD=(CP+AD):CP
detto CP=x si ha quindi
una volta determinato il lato obliquo del triangolo PCD, avendo la base, si può determinarne l'altezza PH'
quindi il triangolo PCD ha area
per prima cosa determiniamo le varie misure.
chiamo
[math]x[/math]
la base maggiore ed ho:base minore=
[math] 2x/3[/math]
altezza
[math]1/3(2x/3)=2x/9 [/math]
quindi imposto la somma:
[math]x+2x/3+2x/9=34 [/math]
da cui si ricava [math]x=18[/math]
quindi base minore=
[math]2*18/3=12[/math]
e altezza[math]=1/3(12)=4 [/math]
il lato obliquo AD si trova attraverso il teorema di pitagora, usando l'altezza DH e la base AH del triangolo rettangolo AHD
[math]AH=(18-12)/2=3[/math]
[math]AD= \sqrt{4^2+3^2}= \sqrt{25}=5[/math]
Dato che i triangoli sono simili possiamo impostare la relazione
AB:CD=AP:CP
cioè base maggiore:base minore =lato obliquo del triangolo grande: lato del triangolo piccolo
che possiamo riscrivere come AB:CD=(CP+AD):CP
detto CP=x si ha quindi
[math]18:12=(x+5):x[/math]
[math]18x=12(x+5)[/math]
[math]18x-12x=60[/math]
[math]6x=60[/math]
quindi [math]x=10[/math]
una volta determinato il lato obliquo del triangolo PCD, avendo la base, si può determinarne l'altezza PH'
[math]PH'= \sqrt{10^2-6^2}=8 [/math]
quindi il triangolo PCD ha area
[math]12*8/2=48[/math]
mentre il triangolo PAB ha area [math]18*(8+4)/2=108[/math]
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