La derivata di funzione

[Sk_Anonymous]

Salve!Non riesco a completare questo esercizio... help,please!!!

Della parabola $f(x)=ax^2+bx+c$ si hanno le seguenti informazioni, tutte localizzate nel punto $x=0$ $:$ $f(0)=1$ , $f'(0)=0$ , $f''(0)=2$
a) determina la parabola, si scrivano le equazioni delle tangenti a essa condotte per il punto $P$ dell'asse y di modo che valga 60°l'angolo APB, essendo A e B i rispettivi punti di tangenza.
b) accertato che il punto P ha ordinata $1/4$ si scriva l'equazione della circonferenza passante per A,B,P.

grazie.

[_Tipper]

Dov'è che ti blocchi?

[Sk_Anonymous]

quando devo trovare l'equazione della tangente passante per il punto P e di conseguenza non riesco a fare neanche il seguito. la parabola mi esce di equazione $y=x^2+1$

[giammaria2]

Un suggerimento, forse migliorabile: detti u, v la ascisse di A, B e $\alpha, \beta$ gliangoli che le tangenti formano con la parallela all'asse x passante per P, scrivi le equazioni di queste tangenti e imponi che assumano lo stesso valore per x=0 (prima equazione) e che sia $\alpha+\beta=120$ (con la formula di somma della tangente; seconda equazione). Risolvi il sistema simmetrico ottenuto.

[giammaria2]

Avevo detto “forse migliorabile” e infatti esiste un forte miglioramento. Poiché P sta sull'asse della parabola, A e B sono fra loro simmetrici rispetto a quest'asse, quindi le tangenti formano l'angolo 60°: 2=30°con l'asse y e 90°-30°= 60° con l'asse x. Si ha quindi $f '(u)=\sqrt 3$.
Aggiungo una precisazione/correzione al mio precedente intervento: se si considerano non gli angoli acuti ma quelli col semiasse x positivo, la formula non è quella scritta, ma $\beta- \alpha=60$; il sistema non è simmetrico.

[oronte83]

Scusate se mi intrufolo nella discussione...ci sarebbe un altro modo per risolvere, che sfrutta la tangente dell'angolo tra due rette:

$tg(alpha)=(m_1-m_2)/(1+m_1*m_2)$

Data $y=x^2+1$ e posto $P(0,t)$ si ha che il fascio di rette per $P$ e' dato da $y=mx+t$.

Legando a sistema il fascio con la parabola si ottiene $x^2-mx+1-t=0$ e, imponendo la condizione di tangenza, $Delta=0$ si ottengono $m_1$ ed $m_2$ da inserire nella formula.

[franced]

"lucetta89":Salve!Non riesco a completare questo esercizio... help,please!!!

Della parabola $f(x)=ax^2+bx+c$ si hanno le seguenti informazioni, tutte localizzate nel punto $x=0$ $:$ $f(0)=1$ , $f'(0)=0$ , $f''(0)=2$
a) determina la parabola, si scrivano le equazioni delle tangenti a essa condotte per il punto $P$ dell'asse y di modo che valga 60°l'angolo APB, essendo A e B i rispettivi punti di tangenza.

I punti $A$ e $B$ hanno ascissa $-sqrt(3)/2$ e $sqrt(3)/2$ in quanto
basta ragionare nel modo seguente:

sia $H$ la proiezione di $P$ sulla retta $AB$;

osservato che il triangolo $ABP$ è equilatero
(infatti è isoscele di base $AB$ e l'angolo in $P$ è 60 gradi),
si ha

$PH = sqrt(3) \cdot AH$

per la nota proprietà della tangente ad una parabola si ha $PH = 2 VH$ dove
$V$ è il vertice della parabola; quindi abbiamo:

$2 VH = sqrt(3) \cdot AH$

a questo punto osserviamo che la relazione
tra $AH$ e $VH$ è semplicemente

$VH = AH^2$

e quindi otteniamo:

$2 AH^2= sqrt(3) AH$

da cui $AH = sqrt(3)/2$.