La circonferenza in geometria analitica
Salve a tutti!
Oggi a scuola abbiamo cominciato lo studio della circonferenza nel piano cartesiano.
Abbiamo dimostrato che l'equazione di tale luogo è : $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Ok, ho capito da dove arriva.
Però l'insegnante ha detto che si se si sviluppano i quadrati dei binomi si ottiene un'altra formula della cfr:
$x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+x_0^2+y_0^2-r^2=0$ --> Ok, capito.
Posti poi: $-2x_0=alpha$, $-2y_0=beta$, $x_0^2+y_0^2-r^2= gamma$, si ottiene la formula finale: $x^2+y^2+ alpha x + beta y + gamma =0$, che è l'equazione canonica della circonferenza.
Ma ora, che differenza c'è fra le due equazioni? devo ricordarmele entrambe? Perché se mi dovessi ricordare anche la seconda dovrei impararmi anche cosa sta dietro ad $alpha$, $beta$ e $gamma$, il che non è proprio semplicissimo. Ho già tantissime formule in mente, ho paura di fare troppa confusione!
Cosa dite?
Oggi a scuola abbiamo cominciato lo studio della circonferenza nel piano cartesiano.
Abbiamo dimostrato che l'equazione di tale luogo è : $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Ok, ho capito da dove arriva.
Però l'insegnante ha detto che si se si sviluppano i quadrati dei binomi si ottiene un'altra formula della cfr:
$x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+x_0^2+y_0^2-r^2=0$ --> Ok, capito.
Posti poi: $-2x_0=alpha$, $-2y_0=beta$, $x_0^2+y_0^2-r^2= gamma$, si ottiene la formula finale: $x^2+y^2+ alpha x + beta y + gamma =0$, che è l'equazione canonica della circonferenza.
Ma ora, che differenza c'è fra le due equazioni? devo ricordarmele entrambe? Perché se mi dovessi ricordare anche la seconda dovrei impararmi anche cosa sta dietro ad $alpha$, $beta$ e $gamma$, il che non è proprio semplicissimo. Ho già tantissime formule in mente, ho paura di fare troppa confusione!
Cosa dite?
Risposte
Pensa di dover disegnare la circonferenza di equazione $x^2+y^2+4x-6y-3=0$, come procederesti? Tanto per capire se per te è importante conoscere seconda formula.
Generalmente si tende a imparare solamente la formula generale (l'ultima che hai scritto), in quanto stai pur certo che sarà quella che dovrai usare per risolvere i futuri problemi che ti verranno assegnati. 
La prima equazione deriva dal teorema di Pitagora ed è utile quando si chiede :
scrivere l'equazione della crf di centro $(x_0, y_0) $ e raggio $ r $.
La seconda serve nel problema opposto : data l'equazione della crf $ x^2+y^2 +alpha x +beta y +gamma =0 $ determinare le coordinate del centro e il raggio.
Attenzione che se consideri crf reali bisogna che il raggio sia reale ...
Conclusione : servono entrambe le formule ; naturalemnte sono derivate l'una dall'altra.
scrivere l'equazione della crf di centro $(x_0, y_0) $ e raggio $ r $.
La seconda serve nel problema opposto : data l'equazione della crf $ x^2+y^2 +alpha x +beta y +gamma =0 $ determinare le coordinate del centro e il raggio.
Attenzione che se consideri crf reali bisogna che il raggio sia reale ...
Conclusione : servono entrambe le formule ; naturalemnte sono derivate l'una dall'altra.
Oddio, mi sa che preferisco la retta alla circonferenza, chissà quante altre formule ci saranno da imparare!
Comunque, grazie a tutti, cercherò di non disperare.
@ @melia: per disegnare quella circonferenza data quell'equazione, mi ricaverei il raggio con la formula $r=sqrt((-alpha/2)^2+(-beta/2)^2 - gamma)$, mi calcolo il centro $C(-alpha/2; -beta/2)$ e dopo prendo il compasso e traccio. Quindi direi che è importante la seconda formula. O sbaglio nel procedimento?
@ Camillo: ok, ho capito. Grazie, mi hai dato delle dritte preziose. Ci sarebbe anche un'altra questione che vorrei chiarire, quella dei raggi reali. Ce l'ha spiegata in fretta e sul libro non è molto chiaro. In pratica la seconda equazione che ho scritto rappresenta una crf solo se $alpha, beta, gamma$ sono tali che $(-alpha/2)^2+(-beta/2)^2 - gamma>=0$, perché questo sarebbe il radicando del radicale della formula del raggio, giusto?
Comunque, grazie a tutti, cercherò di non disperare.
@ @melia: per disegnare quella circonferenza data quell'equazione, mi ricaverei il raggio con la formula $r=sqrt((-alpha/2)^2+(-beta/2)^2 - gamma)$, mi calcolo il centro $C(-alpha/2; -beta/2)$ e dopo prendo il compasso e traccio. Quindi direi che è importante la seconda formula. O sbaglio nel procedimento?
@ Camillo: ok, ho capito. Grazie, mi hai dato delle dritte preziose. Ci sarebbe anche un'altra questione che vorrei chiarire, quella dei raggi reali. Ce l'ha spiegata in fretta e sul libro non è molto chiaro. In pratica la seconda equazione che ho scritto rappresenta una crf solo se $alpha, beta, gamma$ sono tali che $(-alpha/2)^2+(-beta/2)^2 - gamma>=0$, perché questo sarebbe il radicando del radicale della formula del raggio, giusto?
Giusto .
"Iperboloide":
@ @melia: per disegnare quella circonferenza data quell'equazione, mi ricaverei il raggio con la formula ... mi calcolo il centro ...
Come hai mostrato la seconda formula è necessaria e bisogna impararla.
Sì, ho capito. Oggi siamo andati avanti con la spiegazione sulla cfr e me ne sono convinto. Ma l'ho già imparata perfettamente, non costava tanta fatica! Il problema è che quest'anno nel nostro programma c'è geometria analitica, logaritmi ed esponenziali e trigonometria. Ho dato un'occhiata fugace alle altre coniche, alle proprietà dei logaritmi, ma soprattutto alle formule della trigonometria: sono tantissime, e non tutte semplici da imparare. Chissà se riuscirò a giugno ad avere in testa così tante formule! Ci riuscirò?
[OT] Ehi! Carinissimo quel cane... E' maschio o femmina? Dal musetto direi femmina. [/OT]
[OT]Grazie, dissonance! E' una femminuccia, hai ragione, si chiama Atena =D
Perché, si distingue il sesso di un cane anche dal muso? o.o
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Perché, si distingue il sesso di un cane anche dal muso? o.o
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"Iperboloide":
[OT]Grazie, dissonance! E' una femminuccia, hai ragione, si chiama Atena =D
Perché, si distingue il sesso di un cane anche dal muso? o.o
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