Isometrie 1

[silente1]

La parte in blu è tratta da zwirner - funzioni in R

non intedo una parte della dimostrazione (quella relativa all'esistenza) di questo
TEOREMA: per ogni coppia ordinata di semipiani esiste una e una sola isometria che trasporta il primo semipiano sul secondo, in modo che a una prefissata semiretta, sul bordo del primo corrisponda una prefissata semiretta, sul bordo del secondo

Siano infatti dati due semipiano $S$ e $T$, sui cui bordi siano fissata due qualsiasi semiretta $a=OA$ e $b=O'A'$
Che esista una isometria che trasporta $S$ su $T$ segue dall'assioma delle isometrie.
Vogliamo provare che l'isometria è unica ....
(ometto la dimostrazione dell'unicità che non mi dà difficoltà)


Non capisco la dimostrazione dell'esistenza. Gli assiomi delle isometrie sono:
a) la relazione di isometria è riflessiva, simmetrica e transitiva;
b) ogni isometria trasforma una retta, una semiretta, un semipiano rispettivamente in una retta, una semiretta, un semipiano;
c)tutte le rette sono isometriche tra loro. Lo stesso vale per i piani e i semipiani
d)assiomi del trasporto e della invertibilità di segmenti e angoli


Quello che mi sfugge è:
postulata l'esistenza di almeno una isometria che trasforma tra la semiretta $a$ nella semiretta $b$ e
postulata l'esistenza di almeno una isometria che trasforma il semipiano $S$ nel semipiano $T$
come si fa a sapere che esiste una isometria che contemporaneamente trasforma $a$ in $b$ ed $S$ in $T$ ?

Grazie

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Riporto la discussione in Secondaria II grado dopo aver ricevuto un chiarimento dall'autore del post.[/xdom]