Irrazionalità della radice quadrata di 7
Ciao a tutti, ho un problema.. devo dimostrare per assurdo che la radice di 7 è un numero irrazionale. Io sono arrivato fino a: x^2=7*y^2. Voi siete talmente bravi che ho omesso l'inizio. Mi date qualche indicazione senza però darmi voi la dimostrazione completa? Grazie mille!!
Risposte
A naso mi sembra che dimostrare che la radice ha almeno una cifra dopo la virgola è già qualcosa. E questo penso si possa verificare anche direttamente con l'algoritmo per le radici.
Se un numero ha un numero di cifre finito dopo la virgola, moltiplicato per sè stesso non può dare un numero intero.
Se un numero ha un numero di cifre finito dopo la virgola, moltiplicato per sè stesso non può dare un numero intero.
Si ragiona per assurdo come nella più classica dimostrazione riguardante radice di due.
Anche se ci sono sicuramente altri metodi.
Supponi sia un numero razionale, rapporto tra interi primi fra loro.
Eleva al quadrato l'uguaglianza e poi vai avanti tu.
Anche se ci sono sicuramente altri metodi.
Supponi sia un numero razionale, rapporto tra interi primi fra loro.
Eleva al quadrato l'uguaglianza e poi vai avanti tu.
Scusami, non ricordavo avessi già fatto questi passaggi.
Se x e y sono primi fra loro, lo sono anche x^2 e y^2.
Come può allora x^2 essere 7 volte y^2?
Se x e y sono primi fra loro, lo sono anche x^2 e y^2.
Come può allora x^2 essere 7 volte y^2?
"speculor":Sì, ho omesso i passaggi. Cmq posso anche farli adesso per gl'altri: \/7=x/y ---> (\/7)^2=(x/y)^2 ---> 7=x^2/y^2 ---> x^2=7*y^2. Quindi questa domanda che tu posti me la devo porre io? E da qui andare avanti?
Scusami, non ricordavo avessi già fatto questi passaggi.
Se x e y sono primi fra loro, lo sono anche x^2 e y^2.
Come può allora x^2 essere 7 volte y^2?
Siamo arrivati all'assurdo. Due numeri primi fra loro, x^2 e y^2, non possono essere uno 7 volte l'altro.
"speculor":Perché due numeri primi fra loro sono divisibili soltanto per 1. è per questo? Invece così sarebbero divisibili per 7. Se sbaglio fammi qualche esempio..
Siamo arrivati all'assurdo. Due numeri primi fra loro, x^2 e y^2, non possono essere uno 7 volte l'altro.
Non hanno divisori comuni, eccetto 1 naturalmente.
Se a è 7 volte b, tutti i divisori di b sono anche divisori di a.
Se a è 7 volte b, tutti i divisori di b sono anche divisori di a.
"speculor":grazie mille, Speculor!
Non hanno divisori comuni, eccetto 1 naturalmente.
Se a è 7 volte b, tutti i divisori di b sono anche divisori di a.
Oppure...
Dall'uguaglianza $x^2=7y^2$ segue che $x^2$ è divisibile per $7$; ma ciò implica che $x$ è divisibile per $7$ (infatti, se così non fosse, $7$ non sarebbe un fattore primo di $x^2$) e, conseguentemente $x^2$ è divisibile per $7^2$ ossia si può scrivere $x^2=7^2 z^2$; ma allora $y^2=7z^2$ e, ragionando come sopra, $y$ è divisibile per $7$. Ma ciò è assurdo, perchè $x$ ed $y$ non hanno divisori in comune.
Dall'uguaglianza $x^2=7y^2$ segue che $x^2$ è divisibile per $7$; ma ciò implica che $x$ è divisibile per $7$ (infatti, se così non fosse, $7$ non sarebbe un fattore primo di $x^2$) e, conseguentemente $x^2$ è divisibile per $7^2$ ossia si può scrivere $x^2=7^2 z^2$; ma allora $y^2=7z^2$ e, ragionando come sopra, $y$ è divisibile per $7$. Ma ciò è assurdo, perchè $x$ ed $y$ non hanno divisori in comune.
Io avevo pensato ad una cosa del genere.
Un numero razionale con la virgola si può scrivere in questo modo
$n*10^(-k)$.
Con $n$ intero e $k$ positivo.
Si osserva che l'ultima cifra di $n$ (quella delle unità) non può essere $0$, altrimenti verrebbe tolto e $n$ verrebbe moltiplicato per l'ordine decimale successivo.
Il quadrato del numero è uguale a:
$n^2*10^(-2k)$.
Come si può provare con i residui quadratici, anche l'ultima cifra di $n^2$ non può essere $0$, dato che l'ultima cifra di $n$ non è $0$.
Provo:
$n$ $ mod 10 = 1$, $n^2 mod 10 = 1
$n$ $ mod 10 = 2$, $n^2 mod 10 = 4$
$n$ $ mod 10 = 3$, $n^2 mod 10 = 9$
$n$ $ mod 10 = 4$, $n^2 mod 10 = 6$
$n$ $ mod 10 = 5$, $n^2 mod 10 = 5$
$n$ $ mod 10 = 6$, $n^2 mod 10 = 6$
$n$ $ mod 10 = 7$, $n^2 mod 10 = 9$
$n$ $ mod 10 = 8$, $n^2 mod 10 = 4$
$n$ $ mod 10 = 9$, $n^2 mod 10 = 1$
Come si vede non compare mai lo $0$ come cifra delle unità.
Quindi moltiplicare per $10^(-2k)$ equivale a spostare la virgola a sinistra di $2k$ posizioni.
Per cui la cifra delle unità di $n^2$ comparirà dopo la virgola, ed è diversa da $0$. Quindi il numero non è intero.
Però $7$ è intero.
Dunque il quadrato di un numero razionale non interno non può mai dare un numero intero.
Un numero razionale con la virgola si può scrivere in questo modo
$n*10^(-k)$.
Con $n$ intero e $k$ positivo.
Si osserva che l'ultima cifra di $n$ (quella delle unità) non può essere $0$, altrimenti verrebbe tolto e $n$ verrebbe moltiplicato per l'ordine decimale successivo.
Il quadrato del numero è uguale a:
$n^2*10^(-2k)$.
Come si può provare con i residui quadratici, anche l'ultima cifra di $n^2$ non può essere $0$, dato che l'ultima cifra di $n$ non è $0$.
Provo:
$n$ $ mod 10 = 1$, $n^2 mod 10 = 1
$n$ $ mod 10 = 2$, $n^2 mod 10 = 4$
$n$ $ mod 10 = 3$, $n^2 mod 10 = 9$
$n$ $ mod 10 = 4$, $n^2 mod 10 = 6$
$n$ $ mod 10 = 5$, $n^2 mod 10 = 5$
$n$ $ mod 10 = 6$, $n^2 mod 10 = 6$
$n$ $ mod 10 = 7$, $n^2 mod 10 = 9$
$n$ $ mod 10 = 8$, $n^2 mod 10 = 4$
$n$ $ mod 10 = 9$, $n^2 mod 10 = 1$
Come si vede non compare mai lo $0$ come cifra delle unità.
Quindi moltiplicare per $10^(-2k)$ equivale a spostare la virgola a sinistra di $2k$ posizioni.
Per cui la cifra delle unità di $n^2$ comparirà dopo la virgola, ed è diversa da $0$. Quindi il numero non è intero.
Però $7$ è intero.
Dunque il quadrato di un numero razionale non interno non può mai dare un numero intero.
"gugo82":Grazie gugo82. Sei un professionista!!
Oppure...
Dall'uguaglianza $x^2=7y^2$ segue che $x^2$ è divisibile per $7$; ma ciò implica che $x$ è divisibile per $7$ (infatti, se così non fosse, $7$ non sarebbe un fattore primo di $x^2$) e, conseguentemente $x^2$ è divisibile per $7^2$ ossia si può scrivere $x^2=7^2 z^2$; ma allora $y^2=7z^2$ e, ragionando come sopra, $y$ è divisibile per $7$. Ma ciò è assurdo, perchè $x$ ed $y$ non hanno divisori in comune.
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