Irrazionali algebrici o trascendenti?
Ho dei dubbi/difficoltà con questi esercizi.
Stabilire se i numeri così definiti sono razionali o irrazionali e, in tal caso, se sono algebrici o trascendenti.
1) Il numero positivo che ha come parte intera $0$ e come parte decimale la successione dei numeri primi
2) Il numero la cui radice quadrata è $\pi$
3) Il numero positivo il cui quadrato è $\pi$
4) La differenza tra $sqrt(2)$ e $\pi$
Le risposte sono:
1) Irraz. Trascendente
2) Irraz. Algebrico
3) Irraz. Algebrico
4) Irraz. Algebrico
Per il primo esercizio non mi viene in mente alcun modo per affrontare la questione della algebricità/trascendenza. Buio pesto.
Gli altri invece direi che sono tutti trascendenti infatti se fossero irrazionali algebrici lo sarebbe anche $\pi$ il che è assurdo.
Ch’io non c’abbia capito una mazza?
Grazie.
Stabilire se i numeri così definiti sono razionali o irrazionali e, in tal caso, se sono algebrici o trascendenti.
1) Il numero positivo che ha come parte intera $0$ e come parte decimale la successione dei numeri primi
2) Il numero la cui radice quadrata è $\pi$
3) Il numero positivo il cui quadrato è $\pi$
4) La differenza tra $sqrt(2)$ e $\pi$
Le risposte sono:
1) Irraz. Trascendente
2) Irraz. Algebrico
3) Irraz. Algebrico
4) Irraz. Algebrico
Per il primo esercizio non mi viene in mente alcun modo per affrontare la questione della algebricità/trascendenza. Buio pesto.
Gli altri invece direi che sono tutti trascendenti infatti se fossero irrazionali algebrici lo sarebbe anche $\pi$ il che è assurdo.
Ch’io non c’abbia capito una mazza?
Grazie.
Risposte
Anche secondo me sono tutti trascendenti.
"desko":
Anche secondo me sono tutti trascendenti.
Grazie Desko.
Su che base affermi che il primo è trascendene?
Algebrici si ottengono con calcoli algebrici. Radice quadrata o elevamento al quadrato sono operazioni.
Trascendenti non si ottengono da calcoli.
Il primo numero è costruito in un certo modo e non ottenuto da un calcolo.
Trascendenti non si ottengono da calcoli.
Il primo numero è costruito in un certo modo e non ottenuto da un calcolo.
"igiul":
Il primo numero è costruito in un certo modo e non ottenuto da un calcolo.
Grazie igiul; però non mi sembra sufficiente.
Il fatto che sia costruito in un certo modo non implica che non sia anche algebrico.
Anche 1.1111.... puoi pensarlo "costruito" come sequenza di 1 ma non è certo trascendente.
Un numero è algebrico quando è zero di un polinomio a coefficienti interi.
Detto questo mi pare che non ci siano dubbi, tutti i numeri che hai indicato sono trascendenti.
Detto questo mi pare che non ci siano dubbi, tutti i numeri che hai indicato sono trascendenti.
"@melia":
Un numero è algebrico quando è zero di un polinomio a coefficienti interi.
mi giunge nuova.Chissà se c'è da fidarsi?:mrgreen:
Grazie @melia
Un numero è trascendente quando trascende, cioè va al di là delle nostre possibilità di comprensione. Per $\pi$ si pensava che fosse irrazionale fino al 1882 (esso infatti poteva essere espresso dal perimetro di un poligono inscritto in un cerchio aumentando sempre più il numero dei lati.La formula del perimetro di un poligono è$ 2^m*sqrt(2-(sqrt(2+(sqrt(2+...+sqrt2)))$), quando il matematico tedesco F. Lindemann riuscì a dimostrare che $\pi$ non è soluzione di nessuna equazione algebrica a coefficienti interi e proprio per questa ragione,non si può costruire un segmento lungo $\pi$ intersecando delle curve che hanno una equazione algebrica.
non intendo!!!!Mi sfugge il motivo per il quale il l numero positivo che ha come parte intera $0$ e come parte decimale la successione dei numeri primi non possa essere uno zero di un polinomio.
SOS
Mi intrometto perché il problema sembra interessante (ma I.M.H.O. c'è bisogno di fare ordine).
La prima cosa che vorrei puntualizzare è: cosa significa "il numero con parte intera 0 e parte decimale la successione dei numeri primi"? Una cosa tipo $0.p_1p_2...p_n...$ non ha granché senso perché a parte 2,3,5, e 7 i numeri primi sono più grandi di 9. Forse intendi dire il numero fatto così: $sum_{n=1}^infty(p_n)/(10^n)$?
Altra cosa: a parte @melia, mi pare che qui nessuno abbia fatto chiarezza sul concetto di numero algebrico. Le definizioni sono semplici, il difficile è verificarle:
un numero complesso $z$ si dice algebrico se e solo se esiste un polinomio $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ a coefficienti interi (o equivalentemente a coefficienti razionali) tale che $P(z)=0$. E' chiaro che la definizione va bene anche per i numeri reali, se li consideriamo come particolari numeri complessi. Se un numero non è algebrico allora si dirà trascendente.
Questo concetto è molto diverso da quello di numero irrazionale, che è invece un numero reale non razionale. Le relazioni tra queste due classi di numeri sono queste:
a) tutti i numeri razionali sono anche algebrici;
b) non tutti i numeri algebrici sono razionali.
La dimostrazione è facile:
a)se un numero $x$ è razionale allora per definizione esistono due interi $p, q$ tali che $x=p/q$. Quali sono allora le radici di $P(x)=qx-p$?
b) Gli esempi più immediati di numeri algebrici non razionali sono $i$ (l'unità immaginaria), e $sqrt(2)$. ll primo numero non è nemmeno reale, figuriamoci razionale; il secondo invece non è un numero razionale e la dimostrazione è una cosa nota, si può trovare ad esempio su wikipedia. Però questi numeri sono algebrici, essendo radici rispettivamente di $x^2+1, x^2-2$.
Ho scritto tutto questo panegirico per mettere quantomeno un paletto sulle definizioni (sperando di non aver fatto errori eh
). Comunque, a primo sguardo non mi sembra un problema semplicissimo. Ma adesso nelle scuole superiori si fanno queste cose??
La prima cosa che vorrei puntualizzare è: cosa significa "il numero con parte intera 0 e parte decimale la successione dei numeri primi"? Una cosa tipo $0.p_1p_2...p_n...$ non ha granché senso perché a parte 2,3,5, e 7 i numeri primi sono più grandi di 9. Forse intendi dire il numero fatto così: $sum_{n=1}^infty(p_n)/(10^n)$?
Altra cosa: a parte @melia, mi pare che qui nessuno abbia fatto chiarezza sul concetto di numero algebrico. Le definizioni sono semplici, il difficile è verificarle:
un numero complesso $z$ si dice algebrico se e solo se esiste un polinomio $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ a coefficienti interi (o equivalentemente a coefficienti razionali) tale che $P(z)=0$. E' chiaro che la definizione va bene anche per i numeri reali, se li consideriamo come particolari numeri complessi. Se un numero non è algebrico allora si dirà trascendente.
Questo concetto è molto diverso da quello di numero irrazionale, che è invece un numero reale non razionale. Le relazioni tra queste due classi di numeri sono queste:
a) tutti i numeri razionali sono anche algebrici;
b) non tutti i numeri algebrici sono razionali.
La dimostrazione è facile:
a)se un numero $x$ è razionale allora per definizione esistono due interi $p, q$ tali che $x=p/q$. Quali sono allora le radici di $P(x)=qx-p$?
b) Gli esempi più immediati di numeri algebrici non razionali sono $i$ (l'unità immaginaria), e $sqrt(2)$. ll primo numero non è nemmeno reale, figuriamoci razionale; il secondo invece non è un numero razionale e la dimostrazione è una cosa nota, si può trovare ad esempio su wikipedia. Però questi numeri sono algebrici, essendo radici rispettivamente di $x^2+1, x^2-2$.
Ho scritto tutto questo panegirico per mettere quantomeno un paletto sulle definizioni (sperando di non aver fatto errori eh
). Comunque, a primo sguardo non mi sembra un problema semplicissimo. Ma adesso nelle scuole superiori si fanno queste cose??
"dissonance":
Mi intrometto perché il problema sembra interessante (ma I.M.H.O. c'è bisogno di fare ordine).
La prima cosa che vorrei puntualizzare è: cosa significa "il numero con parte intera 0 e parte decimale la successione dei numeri primi"? Una cosa tipo $0.p_1p_2...p_n...$ non ha granché senso perché a parte 2,3,5, e 7 i numeri primi sono più grandi di 9. Forse intendi dire il numero fatto così: $sum_{n=1}^infty(p_n)/(10^n)$?
Capisco il rilievo ma (visto il livello) propendo per $0.2357111317...$ (il testo dell'esercizio è quello)
"dissonance":
Comunque, a primo sguardo non mi sembra un problema semplicissimo. Ma adesso nelle scuole superiori si fanno queste cose??
Grazie dissonance, a questo punto non escluderei che si tratti di un'errore dell'autore.
"silente":
propendo per $0.2357111317...$ (il testo dell'esercizio è quello)
Cioe', bisognerebbe mostrare che questo numero e' trascendente?
A me sembra abbastanza difficile... ma magari c'e' una soluzione semplice, chi lo sa!
Probabilmente bisogna solo fare vedere che quel numero è irrazionale. Magari l'autore aveva in mente di fare applicare il teorema sull'infinità dei numeri primi: essendo i numeri primi infiniti anche le cifre di quel numero sono infinite e poi bisognerebbe dimostrare che non si possono ripetere (voglio dire che non può essere un numero periodico). Ma fare vedere che è trascendente...
"silente":
...$0.2357111317...$
Scusate se resuscito questo vecchio topic, ma per puro caso mi sono imbattuto in questo numero:
http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_d ... Erds
Bravissimo dissonance. Che bel regalo di Natale!
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