IPERBOLI!!
Ciao,non ho ben chiaro come ci si deve comportare quando si hanno delle iperboli sottoforma di "funzione omografica"...
Per esempio,sapete risolvere questi esercizi??
determinare le coordinate del centro,le equazioni degli assi di simmetria e le coordinate dei vertici delle seguenti iperboli (e rappresentarle graficamente):
A) y= (3x+2)/(x+2)
B) y= (2x+1)/(1-x)
C) y= (&x-1)/(2x+1)
Grazie very much!!!
Per esempio,sapete risolvere questi esercizi??
determinare le coordinate del centro,le equazioni degli assi di simmetria e le coordinate dei vertici delle seguenti iperboli (e rappresentarle graficamente):
A) y= (3x+2)/(x+2)
B) y= (2x+1)/(1-x)
C) y= (&x-1)/(2x+1)
Grazie very much!!!
Risposte
Per l'iperbole y=(ax+b)/(cx+d) gli assi di simmetria, detti anche asintoti,si torvano:
y=a/c ovvero facendo il rapporto dei coefficienti delle x; ponendo uguale a zero il denominatore ovvero cx+d=0 quindi x=-d/c
Il centro si trova dall'intersezione degli assi ovvero C(-d/c; a/c)
Per trovare i vertici e i fuochi bisogna traslare gli assi x-->x-d/c e y--> y+a/c in modo da ottenere un'iperbole della forma xy=k a cui applichi le formule
nel tuo caso hai nella 1° equazione y=3 x=-2 C(-2;3), traslando si ha y+3=[3(x-2)+2]/[(x-2)+2] -->
y+3=(3x-6+2)/x -->moltiplicando per x entrambi in membri dell'equazione si ha xy+3x=3x-4 -->xy=-4 a questa applichi le formule note per l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.
nella seconday=-2 (nota bene che il coefficiente della x al denominatore è -1) x=1 C(1;-2)
nella terza y=4 x=-1/2 C(-1/2:4)
y=a/c ovvero facendo il rapporto dei coefficienti delle x; ponendo uguale a zero il denominatore ovvero cx+d=0 quindi x=-d/c
Il centro si trova dall'intersezione degli assi ovvero C(-d/c; a/c)
Per trovare i vertici e i fuochi bisogna traslare gli assi x-->x-d/c e y--> y+a/c in modo da ottenere un'iperbole della forma xy=k a cui applichi le formule
nel tuo caso hai nella 1° equazione y=3 x=-2 C(-2;3), traslando si ha y+3=[3(x-2)+2]/[(x-2)+2] -->
y+3=(3x-6+2)/x -->moltiplicando per x entrambi in membri dell'equazione si ha xy+3x=3x-4 -->xy=-4 a questa applichi le formule note per l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.
nella seconday=-2 (nota bene che il coefficiente della x al denominatore è -1) x=1 C(1;-2)
nella terza y=4 x=-1/2 C(-1/2:4)
"vamply":
Per l'iperbole y=(ax+b)/(cx+d) gli assi di simmetria, detti anche asintoti....
Gli assi di simmetria dell'iperbole non coincidono con gli asintoti.
Essi sono le rette passanti per il centro e con coefficenti angolari 1 e - 1.
Quindi per trovare gli assi di simmetria come devo fare??
Scusate ma non ho capito...
Scusate ma non ho capito...
"IlaCrazy":
Quindi per trovare gli assi di simmetria come devo fare??
Scusate ma non ho capito...
Le coordinate del centro sono $C(-d/c;a/c)$ per cui le equazioni degli assi di simmetria diventano:
$y-y_C=m(x-x_C)=>y=+-(x+d/c)+a/c$
hai ragione !!! scusa ho sbagliato!
Quindi molto più semplicemente per trovare i vertici basta mettere a sistema l'iporbole con l'asse
Ah,ok!!
Ora è tutto chiaro,grazie!!
Ora è tutto chiaro,grazie!!
se non hai ancora affrontato il concetto di limite, che ti semplificherà molto la vita devi studiare questo tipo di funzioni imparandoti, purtroppo, a memoria le sue caratteristiche. infatti dovresti tenere presente che:
il grafico dell'iperbole equilatera con centro di simmetria nell'origine, di equazione $xy=a,a>0$ esiste nel primo e terzo quadrante del piano
il suo simmetrico $xy=-a$ ovviamente nel secondo e quarto; la tua iperbole non è altro che una di questo tipo traslato in un punto che poi dobbiamo scoprire
tutto questo ti servirà per dedurre dove si trovano i vertici dell'iperbole.
la coordinata x del centro è il punto dove si annulla il denominatore della frazione (che è un punto dove il grafico non esiste per quel/quei particolare valore di x, e quindi sarà il nostro asintoto verticale). la coordinata y è il rapporto tra i due coefficienti di x al numeratore e al denominatore, questo è anche il tuo asintoto orizzonatale.
adesso per trovare le coordinate dei vertici devi imporre il sistema tra l'equazione dell'iperbole e la retta $y-y_0=+-(x-x_0)$, a seconda di dove pensi possano trovarsi i vertici, con $x_0$e$y_0$ è il centro di simmetria dell'iperbole $C(x_0,y_0)$
eh... lo so l'iperbole è un po' antipatica se non conosci l'analisi matematica....
il grafico dell'iperbole equilatera con centro di simmetria nell'origine, di equazione $xy=a,a>0$ esiste nel primo e terzo quadrante del piano
il suo simmetrico $xy=-a$ ovviamente nel secondo e quarto; la tua iperbole non è altro che una di questo tipo traslato in un punto che poi dobbiamo scoprire
tutto questo ti servirà per dedurre dove si trovano i vertici dell'iperbole.
la coordinata x del centro è il punto dove si annulla il denominatore della frazione (che è un punto dove il grafico non esiste per quel/quei particolare valore di x, e quindi sarà il nostro asintoto verticale). la coordinata y è il rapporto tra i due coefficienti di x al numeratore e al denominatore, questo è anche il tuo asintoto orizzonatale.
adesso per trovare le coordinate dei vertici devi imporre il sistema tra l'equazione dell'iperbole e la retta $y-y_0=+-(x-x_0)$, a seconda di dove pensi possano trovarsi i vertici, con $x_0$e$y_0$ è il centro di simmetria dell'iperbole $C(x_0,y_0)$
eh... lo so l'iperbole è un po' antipatica se non conosci l'analisi matematica....
il primo esercizio si può facilmente studiare se impari a fattorizzare:
$y=(3x+2)/(x+2)rArrxy+2y=3x+2rArrxy-3x+2y-2=0rArr xy-3x+2y-6+4=0$(aggiunto e sottratto 4)$rArr(y-3)(x+2)=-4$ l'iperbole è del tipo simmetrica rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante ed è traslata di vettore $vecv(-2,3)$ rispetto all'origine, ed è il centro di simmetria dell'i, questi sono inoltre gli asintoti. per trovare i vertici fai il sistema con l'equazione dell'iperbole e la retta di equazione $y-3=-(x+2)$
$y=(3x+2)/(x+2)rArrxy+2y=3x+2rArrxy-3x+2y-2=0rArr xy-3x+2y-6+4=0$(aggiunto e sottratto 4)$rArr(y-3)(x+2)=-4$ l'iperbole è del tipo simmetrica rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante ed è traslata di vettore $vecv(-2,3)$ rispetto all'origine, ed è il centro di simmetria dell'i, questi sono inoltre gli asintoti. per trovare i vertici fai il sistema con l'equazione dell'iperbole e la retta di equazione $y-3=-(x+2)$
Grazie!
dopo la figuraccia di prima sono andato a darmi un'occhiata alla teoria delle iperboli.
individuare le caratteristiche punti di simmetria assi e eventuali asintoti della conica di equazione:
$x^2-2y^2-6x+16y-27=0$
individuare le caratteristiche punti di simmetria assi e eventuali asintoti della conica di equazione:
$x^2-2y^2-6x+16y-27=0$
Beh,allora...se non vado errato si fa così...
Raccolgo tutti i termini simili e uso il completamento del quadrato:
(x^2-6x+9)-2(y^2-8y+16)-27=0
(x-3)^2-2(y-4)^2-27-9+32=0
(x-3)^2-2(y-4)^2=4
Divido tutto per 4:
(x-3)^2/4 -(y-4)^2/2=1
Ottengo un'iperbole .Scrivo la traslazione che la rende tale:
x'-3=x
y'-4=y
Quindi
x'=x+3
y'=y+4
Poi credo che gli asintoti si ricavino da quella di partenza inserendoli nella traslazione...o no???
Raccolgo tutti i termini simili e uso il completamento del quadrato:
(x^2-6x+9)-2(y^2-8y+16)-27=0
(x-3)^2-2(y-4)^2-27-9+32=0
(x-3)^2-2(y-4)^2=4
Divido tutto per 4:
(x-3)^2/4 -(y-4)^2/2=1
Ottengo un'iperbole .Scrivo la traslazione che la rende tale:
x'-3=x
y'-4=y
Quindi
x'=x+3
y'=y+4
Poi credo che gli asintoti si ricavino da quella di partenza inserendoli nella traslazione...o no???
infatti. l'iperbole ha semiassi: reale $a=2$ immaginario $b=sqrt2$ il coefficiente angolare degli asintoti $m=b/a rArr m=+-sqrt2/2$ (si deduce geometricamente)
allora $r: y-4=+-sqrt2/2(x-3)$
allora $r: y-4=+-sqrt2/2(x-3)$
ok...
Ho un'altra question:nelle iperboli del tipo
y= ax+b/cx+d (le funzioni omografiche),come si ricavano gli asintoti??
please è urgente doma ho la verifica!!!!!!
y= ax+b/cx+d (le funzioni omografiche),come si ricavano gli asintoti??
please è urgente doma ho la verifica!!!!!!
"micheletv":
la coordinata x del centro è il punto dove si annulla il denominatore della frazione (che è un punto dove il grafico non esiste per quel/quei particolare valore di x, e quindi sarà il nostro asintoto verticale). la coordinata y è il rapporto tra i due coefficienti di x al numeratore e al denominatore, questo è anche il tuo asintoto orizzonatale.
eh eh....me ne ero accorta dopo aver scritto il messaggio...
POSTULATO: troppa matematica fa male!!!
POSTULATO: troppa matematica fa male!!!
B) y= (2x+1)/(1-x)
Salve scusate ma non riesco proprio a risolvere questa funzione omografica...
Devo trovare:
-CENTRO DEGLI ASINTOTI
-VERTICI
-ASSE TRASVERSO E NON
perfavore un aiuto grazie
Salve scusate ma non riesco proprio a risolvere questa funzione omografica...
Devo trovare:
-CENTRO DEGLI ASINTOTI
-VERTICI
-ASSE TRASVERSO E NON
perfavore un aiuto grazie
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