Iperbole, una mano per favore!

[stesimo]

Data, nel piano xOy, la famiglia di curve di equazione

y = x + ( l - 1) / - lx + (2 - l)

rispondere ai seguenti quesiti:
a) determinare per quali valori di l l'equazione rappresenta un'iperbola equilatera traslata;
b) determinare il luogo r dei centri di simmetria delle iperboli della famiglia
c) determinare l'iperbole (gamma) della famiglia passante per il punto A (0; -2/3) e tracciarne il grafico

Grazie in anticipo, per favore aiutatemi

[quasar818]

L'iperbole equilatera ha la caratteristica di avere un'equazione del tipo

[math]\\ xy=costante \\[/math]

se riesci a scriverla in un modo analogo a questo, tenendo conto della traslazione, hai fatto.
Per tener conto della traslazione devi trovare qualcosa del tipo:

[math]\\ (x-x_0)(y-y_0)=costante \\[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Per il luogo dei centri di simmetria se non sbaglio c'è una formula già preconfezionata...però ragionandoci un po' su non possono che essere le curve che dividono le iperbole in due parti specchiate...quali potrebbero essere secondo te?

Aggiunto 2 minuti più tardi:

L'ultimo punto è il più semplice...una volta trovate le iperboli che soddisfano la condizione di essere equilatere traslate, imponi il passaggio per il punto...cioè sostituisci all'equazione le coordinate e vedi per quali valori di l è soddisfatta

[stesimo]

Scusa, l'iperbole equilatera traslata non ha equazione

[math]y = (ax + b)/(cx + d)[/math]

?

Ho provato a porre le condizioni c diverso da 0 e ad diverso da cb

è giusto?

Per l'ultimo come faccio a ottenere tre coefficienti se ho una sola condizione?

[quasar818]

Entrambe le equazioni, la mia e la tua, sono equazioni dell'iperbole equilatera...la tua però ha bisogno di condizioni sulle costanti a, b, c, d...sai quali sono?

[stesimo]

No, ti ho scritto l'esercizio così come me lo da

[quasar818]

Io dicevo che era del tipo

[math] \\
(x-x_0)(y-y_0)=k \\
[/math]

Se si impongono le condizioni:

[math]\\
x_0=-\frac{d}{c} \\
y_0=\frac{a}{c} \\
x_0y_0=k-\frac{b}{c} \\
[/math]

si arriva all'equazione omografica...quindi è esattamente la stessa cosa ma devi vedere quando le costanti a, b, c, d esistono.

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Seguendo queste condizioni si arriva a:

[math]\\ x_0=\frac{2-l}{l}[/math]

[math]\\ y_0=- \frac{1}{l}[/math]

[math]\\k= \frac{(l^2+1)(l-1)-1}{l^2}[/math]

[stesimo]

Ho scritto le condizioni
c diverso da 0
ad diverso da cb

per cui l divero da 0

ho fatto il secondo punto ed esce x + 2y +1 = 0

nell'eq. y = ax + b / cx + d divido tutto per c

ed esce y = kx + h / x + f

dove k= a/c ; h= b/c ; f=d/c

sfrutto il passaggio per il punto ed ottengo

h/f = - 2/3

come faccio ad ottenere k = a/c? sfruttando il luogo dei centri x + 2y + 1=0 ?

[quasar818]

Scrivendo l'equazione nella forma che ti ho dato io hai:

[math]\\
(y+\frac{1}{l})(x+\frac{l-2}{l})=\frac{(l^2+1)(l-1)-1}{l^2}[/math]

Aggiunto 58 secondi più tardi:

Ora hai un'equazione con un solo parametro da determinare...sostituisci e risolvi!

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Se non ho sbagliato i calcoli non dovrebbe esistere un valore di l per cui è soddisfatta la terza richiesta!

[stesimo]

l'eq. della terza richiesta è

y = x - 2 / x + 3

[quasar818]

Non avresti dovuto trovare due rette invece di una come luogo dei centri di simmetria?

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Sapevo di aver fatto un errore...ho eliminato una soluzione...comunque viene l=-1 e quindi l'equazione che hai detto tu!

[stesimo]

Perchè esca l=-1 non l=1

Comunque mi esce un sistema di due equazioni in tre incognite. Domani chiederò. Grazie dell'interessamento; alla prossima! :)

[quasar818]

Ok!
Comunque l'equazione omografica si ottiene partendo dall'equazione che ti ho scritto io...quindi puoi usare quella forma per avere più informazioni sui coefficienti...e così otterrai la terza condizione che ti serve per risolvere il sistema.

[etlilaw]

quasar ti ha praticamente dato tutto quello che serve