Iperbole - I°
Ciao!
Grazie a chi potrà aiutarmi a risolvere:
L'iperbole x^2/b^2 - y^2/a^2 =1 ha per asintoti le rette 3x + - (sqrt5)y=0 e incontra la circonferenza x^2+y^2=13 in quattro punti, vertici di un rettangolo avente il perimentro = 20; scrivere l'equazione dell'iperbole e calcolare le coordinate dei vertici del rettangolo.
Risultati:
5y^2 - 9x^2 = 9
(2; + - 3)
(-2; + - 3)
Coppus
"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)
Grazie a chi potrà aiutarmi a risolvere:
L'iperbole x^2/b^2 - y^2/a^2 =1 ha per asintoti le rette 3x + - (sqrt5)y=0 e incontra la circonferenza x^2+y^2=13 in quattro punti, vertici di un rettangolo avente il perimentro = 20; scrivere l'equazione dell'iperbole e calcolare le coordinate dei vertici del rettangolo.
Risultati:
5y^2 - 9x^2 = 9
(2; + - 3)
(-2; + - 3)
Coppus
"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)
Risposte
la soluzione dovrebbe essere circa questa:
innanzitutto sai che l' iperbole è simmetrica rispetto a uno dei due assi (quale che sia non ha importanza); per cui i punti di intersezione con la circonferenza (anch' essa col centro nell' origine degli assi e di raggio sqrt13) saranno simmetrici; questo vuol dire che avranno le stesse coordinate x e y, anche se con segni diversi, e da questo puoi capire che allora, indicate x e y le coordinate di questi punti 2x + 2y=10 (cioè in pratica è il semiperimetro); a questo punto se fai l' intersezione di questa retta (che in pratica è la diagonale del rettangolo) con la circonferenza ottieni i punti che cercavi.
adesso per quanto riguarda l' iperbole tu sai che gli asintoti hanno una certa equazione, la poni nella forma esplicita (ovvero y=kx+q)
dove k vale [:p]a/b, dove a e b sono quelle della tua formula iniziale. Adesso però non vuol dire che hai trovato a e b, bensi dei loro multipli a*l e b*l (dove l non la conosci, mentre la a e la b te le ricavi dagli asintoti), però se tu sostituisci le coordinate di x e y nella formula dell' iperbole, dopo aver sostituito a e b,
ottieni x^2/5l^2 - y^2/9l^2 = 1 (non ti preoccupare del fatto che l sia al quadrato, non devi trovare l infatti...)
Dopo questa sostituzione ottieni quindi dei valori di l^2, che sostituita nell' equazione e mantenendo incognite x e y ti danno l' equazione dell' iperbole che cercavi....
non ho verificato a fondo il metodo, ma penso sia esatto...
innanzitutto sai che l' iperbole è simmetrica rispetto a uno dei due assi (quale che sia non ha importanza); per cui i punti di intersezione con la circonferenza (anch' essa col centro nell' origine degli assi e di raggio sqrt13) saranno simmetrici; questo vuol dire che avranno le stesse coordinate x e y, anche se con segni diversi, e da questo puoi capire che allora, indicate x e y le coordinate di questi punti 2x + 2y=10 (cioè in pratica è il semiperimetro); a questo punto se fai l' intersezione di questa retta (che in pratica è la diagonale del rettangolo) con la circonferenza ottieni i punti che cercavi.
adesso per quanto riguarda l' iperbole tu sai che gli asintoti hanno una certa equazione, la poni nella forma esplicita (ovvero y=kx+q)
dove k vale [:p]a/b, dove a e b sono quelle della tua formula iniziale. Adesso però non vuol dire che hai trovato a e b, bensi dei loro multipli a*l e b*l (dove l non la conosci, mentre la a e la b te le ricavi dagli asintoti), però se tu sostituisci le coordinate di x e y nella formula dell' iperbole, dopo aver sostituito a e b,
ottieni x^2/5l^2 - y^2/9l^2 = 1 (non ti preoccupare del fatto che l sia al quadrato, non devi trovare l infatti...)
Dopo questa sostituzione ottieni quindi dei valori di l^2, che sostituita nell' equazione e mantenendo incognite x e y ti danno l' equazione dell' iperbole che cercavi....
non ho verificato a fondo il metodo, ma penso sia esatto...
Grazie mille jack!
-coppus-
"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)
-coppus-
"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)
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