Iperbole equilatera e funzione omografica

[n0r4]

Ciao, sto studiando la funzione omografica relativa all'iperbole, ma il mio libro di testo, nella parte della teoria non sembra fornire indicazioni su come procedere poi in alcuni esercizi.

Ne posto due diversi: non chiedo necessariamente che vengano risolti, alla fine erano per oggi e sono rimasta a casa per altri motivi, ma anche solo capire il procedimento che poi porta alla loro soluzione. Non mi serve nemmeno una soluzione immediata, il compito in classe ce l'ho tra 10 giorni.

Primo esercizio:

Trova per quali valori di a, b, c l'iperbole di equazione y = ax + b / cx - 4 ha il centro che passa in C(-4;-1) e passa per il punto (-2,2).

Studiando precedenti curve, so che è possibile sostituire la x e la y di un punto nell'equazione, ma in questo caso non so come procedere. So anche che con il centro posso avere il rapporto degli asintoti, ma non capisco come mettere insieme tutte queste informazioni per arrivare alla soluzione.

Secondo esercizio:

Determina le equazioni dei seguenti grafici utilizzando i dati delle figure. Quindi, giusto sotto c'è una figura con una iperbole traslata con un ramo che passa per i punti (0,-2) e (-6,1) e l'altro (3,10). A occhio (ma non c'è scritto) posso ipotizzare che il centro si trovi alle coordinate (2,2). Ma come procedere?

Grazie a tutti

[Quinzio]

E' da tempo che non ho a che fare con le iperboli, ma per il primo esercizio mi viene in mente questo possibile procedimento.
Le equazioni del tipo

$y = (ax+b)/(cx+d)$

danno origine a delle iperboli con gli asintoti paralleli agli assi, quindi uno verticale e uno orizzontale.
L'equazione canonica per tali iperboli e'

$xy=1$

di centro $(0,0)$

Se adesso traslo l'origine in modo che il centro sia in $(-4, -1)$
l'equazione diventa

$(x+4)(y+1) = 1$

Poi impongo il passaggio per $(-2, 2)$ e ottengo

$(x+4)(y+1) = 6$.

Poi faccio qualche passaggio semplice per arrivare alla forma $y = (ax+b)/(cx+d)$

$xy + 4y +x = 6-4$.

$y = (-x+2)/(x+4)$

$y = (x-2)/(-x-4)$

Ecco fatto:
$a = 1$
$ b = -2$
$c = -1$

[@melia]

Per il secondo esercizio prendi l’equazione dell’iperbole $y=(ax+b)/(cx+d)$ e sostituisci i tre punti, ottieni un sistema a tre equazioni in quattro incognite, ma tale sistema è omogeneo quindi basta esprimere tre incognite in funzione della quarta. Quando andrai a sostituirle nell’equazione ti accorgerai che è possibile raccogliere e semplificare. Viene proprio l’iperbole con centro (2,2)

[n0r4]

Ciao Quinzio, innanzitutto ti ringrazio per la pazienza. Ti pongo più in basso qualche altra domanda (se ti è avanzata altra pazienza)

"Quinzio":

Poi impongo il passaggio per $(-2, 2)$ e ottengo
$(x+4)(y+1) = 6$.

Qui mi sono persa: come avviene questa imposizione? Cioè, cosa porta a valere 6 l'uguaglianza precedente?

"Quinzio":

Poi faccio qualche passaggio semplice per arrivare alla forma $y = (ax+b)/(cx+d)$

$xy + 4y +x = 6-4$.

$y = (-x+2)/(x+4)$

$y = (x-2)/(-x-4)$

Ecco fatto:
$a = 1$
$ b = -2$
$c = -1$

Anche qui, i passaggi che per te sono giustamente semplici, per me non lo sono. E non capisco come poi arrivi a quei risultati dopo aver fatto i passaggi semplici.

Comunque, anche se non dovessi rispondere, grazie perché almeno ho compreso una parte del procedimento. Purtroppo, i prof devono andare molto veloci con i programmi e non è semplice per loro stare dietro a tutti (cioè, non possiamo fare domande su ogni cosa). Inoltre, tra compagni diciamo che i libri appaiono "tirchi" di spiegazioni, sono molto succinti, però poi presentano esercizi che se non vengono spiegati non è facile immaginare come debbano essere risolti

[n0r4]

@melia

Ok, credo di aver capito (se serve a qualcuno nei prossimi giorni posto la soluzione qui, anche se non ho capito come si fanno questi bei caratteri matematici che fate voi in blu: mi informerò).

Mi chiedo solo come mai poi il libro indichi che si tratta di un esercizio facile (un pallino su due): cioè, in genere non indica che è facile, indica che è breve. Ma non è breve ed è facile cadere in errori stupidi, es. segni.

Comunque, tante grazie.

[gabriella127]

"n0r4":anche se non ho capito come si fanno questi bei caratteri matematici che fate voi in blu: mi informerò).

n0r4, benvenuta nel Forum.

I 'bei caratteri blu che noi facciamo' sono il codice Latex o Ascii, non ti spaventare, non è difficile, trovi in alto nella striscia rosa la guida per scrivere le formule.
Poi quando rispondi vedi che sotto c'è un riquadro con scritto 'Aggiungi formula', clicchi lì e ti dice come fare varie cose, simboli, limiti, integrali etc. .

Ma ancora più semplicemente, comincia a scrivere le tue formule mettendole tra due segni di dollaro, sono quelli che fanno venire lo splendido blu! .

Ad esempio, y=ax+b scrivilo mettendo prima e dopo un segno di dollaro

$y=ax+b$

e come per incanto ti viene la scritta blu

$y=ax+b$.

Per vederla devi fare 'Anteprima' sotto il messaggio che stai scrivendo.

Cominicia a provare e poi ti abitui.

[n0r4]

Molto bene, grazie!

[giammaria2]

Per il primo esercizio propongo anche un'altra soluzione. Il centro è l'intersezione degli asintoti, che quindi sono $x=-4; y=-1$ Gli asintoti dell'iperbole equilatera $y=(ax+b)/(cx+d)$ hanno equazione $cx+d=0$ (dacui $x=(-d)/c$) e $y=a/c$ e così ottieni le due equazioni $ (+4)/c=-4$ ed $ a/c=-1$ e ne ricavi subito $a,c$; poi imponi il passaggio per il punto dato.
Per le scritte in blu, aggiungo un suggerimento a quanto scritto da gabriella127: clicca su CITA in un messaggio che ne contiene (magari questo, dato che lo stai guardando) e vedrai apparire quello che abbiamo digitato.