Iperbole e asintoti

[thedarkhero]

Ho l'iperbole di equazione $4x^2-9y^2=36$, mi sono calcolato gli asintoti che sono $y=+-2/3x$.
Ora come posso fare a provare che presa una tangente qualsiasi, essa determina con gli asintoti un triangolo di area costante?

[giammaria2]

Nessuno ha finora risposto; ti suggerisco un metodo possibile, ma con calcoli un po' lunghi. Su un asintoto prendi il punto $P(u,2/3u)$ e trovi l'equazione della tangente condotta da $P$ all'iperbole col solito metodo: intersechi la generica retta per $P$ con l'iperbole ed imponi $Delta=0$. Trovi due soluzioni, ma una ha $m=2/3$ e quindi dà l'asintoto stesso e la trascuriamo. Usando l'altra soluzione, trovi l'intersezione $Q$ con l'altro asintoto; avendo i tre vertici, puoi concludere in più modi.

Continuerò comunque a pensare al problema, cercando una soluzione meno "calcolosa"; magari qualcun altro la suggerirà.

[thedarkhero]

I conti sono abbastanza mostruosi ma effettivamente il procedimento che hai descritto deve funzionare! Grazie

[giammaria2]

Come promesso, ho cercato altri metodi. Il più rapido è l'uso delle funzioni iperboliche, che però sono poco note a livello di secondaria; è invece accessibile e non troppo lungo il seguente.
Indico con $T(u,v)$ il punto di tangenza; col metodo dello sdoppiamento trovo subito che la tangente ha equazione
$4ux-9vy=36$.
Ne trovo le intersezioni con gli asintoti, che sono i punti $P(18/(2u-3v),12/(2u-3v))$ e $Q(18/(2u+3v),(-12)/(2u+3v))$; calcolo poi l'area con la formula
$S=1/2||(x_Q-x_O,y_Q-y_O),(x_P-x_O,y_P-y_O)||=1/2||(18/(2u-3v),12/(2u-3v)),(18/(2u+3v),(-12)/(2u+3v))||=216/(|4u^2-9v^2|)$

Ma $T$ stava sull'iperbole, quindi $4u^2-9v^2=36$ e perciò $S=216/36=6$.

[thedarkhero]

Grazie mille, questo è molto più efficiente!