Iperbole

[IPPASO40]

Perdonatemi, ma non riesco a risolvere il seguente quesito: Scrivere l'equazione dell'iperbole equilatera con gli asintoti paralleli agli assi, tangente nel punto P(2; 2) alla retta di equazione $x+y-4=0$ e passante per l'origine degli assi.

[Quinzio]

L'iperbole equilatera di cui si parla ha come equazione generica:
$y-y_0 = 1/(x-x_0)$

la cui derivata e'
$y' = -1/(x-x_0)^2$

Siccome nel punto $(2,2)$ deve essere parallela alla retta $y = -x+4$ che ha derivata $y' = -1$

impostiamo nel punto $(2,2)$

$y' = -1/(x-x_0)^2= -1/(2-x_0)^2= -1$

da cui $x_0 \in {1,3}$

Riprendendo

$y-y_0 = 1/(x-x_0)$

nel punto $(2,2)$

$2-y_0 = 1/(2-x_0)$

da cui si ottiene $y_0 \in {1,3}$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Così a occhio penso che si debba risolvere senza derivate

[@melia]

"Quinzio":L'iperbole equilatera di cui si parla ha come equazione generica:
$y-y_0 = 1/(x-x_0)$

Credo che manchi il $k$
L'equazione generica di un'iperbole con asintoti paralleli agli assi è $y-y_0 = k/(x-x_0)$, che preferisco scrivere
$(x-x_0)(y-y_0) = k$

Passa per $(0;0)$ quindi $(0-x_0)(0-y_0) = k$, da cui $k=x_0y_0$, e l'equazione generale diventa $(x-x_0)(y-y_0) = x_0y_0$

Poi passa per $(2;2)$ quindi $(2-x_0)(2-y_0) = x_0y_0$, da cui $4-2x_0-2y_0+x_0y_0=x_0y_0$, mi ricavo $y_0$
$y_0=2-x_0$ e a questo punto l'equazione diventa $(x-x_0)(y-2+x_0) = x_0y_0$ equazione che metto a sistema con la retta tangente e impongo la condizione di tangenza, cioè che le due soluzioni siano coincidenti ($Delta=0$)

$\{(x + y -4= 0),((x-x_0)(y-2+x_0) = x_0y_0):}$, ricavando $y$ dalla prima equazione e sostituendo nella seconda ottengo un'equazione di secondo grado nell'incognita $x$, con il parametro $x_0$

[IPPASO40]

Vi ringrazio amici.

[@melia]

Era pronto il pranzo e ho piantato lì l'esercizio, adesso ho anche visto che mi sono dimenticata di sostituire $y_0$
Il sistema è
$\{(x + y -4= 0),((x-x_0)(y-2+x_0) = x_0(2-x_0)):}$

$\{( y = 4-x),((x-x_0)(4-x-2+x_0) = x_0(2-x_0)):}$

Facendo i calcoli nella seconda equazione ottengo $x^2-2(1+x_0)x+4x_0=0$, a questo punto calcolo il $Delta$ e lo pongo uguale a 0 per avere le due soluzioni coincidenti, cioè la condizione di tangenza.
$Delta/4=(1+x_0)^2-4x_0=0$

$1+2x_0+x_0^2-4x_0=0$ che diventa $(1-x_0)^2=0$ ovvero $x_0=1$, perciò $y_0=2-1=1$ e l'equazione finale
$(x-1)(y-1)=1$ che, con un po' di conti, può essere scritta $y=x/(x-1)$