Inversione formula (trigonometria)

[Paolo_Moroni]

Su un testo trovo che la funzione:

$y=4*x*(1-x)^2$

nell'intervallo $x in [0,1/3]$

può essere invertita come:

$x=2/3*{1-cos[1/3*arcos(1-3.375*y)]}$

Qualcuno mi saprebbe indicare come lo si dimostra?

[anonymous_0b37e9]

Difficile venirne a capo se non ti aiuti procedendo a ritroso:

$[cos\alpha=1-3/2x] ^^ [cos3\alpha=1-27/8y] ^^ [cos3\alpha=cos\alpha(4cos^2\alpha-3)] rarr$

$rarr 1-27/8y=(1-3/2x)[4(1-3/2x)^2-3] rarr$

$rarr 1-27/8y=(1-3/2x)(1-12x+9x^2) rarr$

$rarr 1-27/8y=1-12x+9x^2-3/2x+18x^2-27/2x^3 rarr$

$rarr -27/8y=-27/2x+27x^2-27/2x^3 rarr$

$rarr y=4x-8x^2+4x^3 rarr$

$rarr y=4x(1-2x+x^2) rarr$

$rarr y=4x(1-x)^2$

In questo modo:

$[\alpha=cos^(-1)(1-3/2x)] ^^ [3\alpha=cos^(-1)(1-27/8y)] rarr$

$rarr cos^(-1)(1-3/2x)=1/3cos^(-1)(1-27/8y) rarr$

$rarr 1-3/2x=cos[1/3cos^(-1)(1-27/8y)] rarr$

$rarr x=2/3{1-cos[1/3cos^(-1)(1-27/8y)]}$

A rigore, si dovrebbe giustificare la condizione:

$x in [0,1/3]$

Tuttavia, visto che frequenti una scuola secondaria, non credo sia il caso.

[Paolo_Moroni]

Ti ringrazio,
sei stato molto gentile oltre che geniale!

...ero un po' arrugginito: la secondaria era 5 anni prima di ingegneria e quindi ormai più di 25 anni fa .

Si trattava appunto di dimostrare l'inversione della formula di Betz $Cp=4*a*(1-a)^2$ che a me interessava per capire come regolare la velocità e il pitch di una turbina eolica: $x$ sarebbe il fattore di induzione assiale $a$, mentre $y$ sarebbe il coefficiente di potenza $Cp$.

Grazie ancora
Paolo

[anonymous_0b37e9]

"paomat":
Si trattava appunto di dimostrare l'inversione della formula di Betz ...

Non mi rimane che augurarti un buon proseguimento.