$int(senx)^3$
Buonasera io questo integrale l'ho risolto sostitutendo il $senx$, ma non so se è giusto:
$int(senx)^3$
sostituisco $t=senx$ cioè $x=arcsent$,$dx=1/sqrt(1-t^2)$
$intt^3(1/sqrt(1-t^2)dt$
poi lo faccio per parti
$F=t$-------$F'=3t$-----$G=2(1-t)^(1/2)$------$G'=(1-t)^(-1/2)$
$intFG'=FG-intF'G$
$2t^3(1-t)^(1/2)-6(2/3t(1-t)^(3/2)-2/3int(1-t)^(3/2))dt$
poi faccio ancora per parti
$2t^3(1-t)^(1/2)-4t(1-t)^(3/2)+4(1-t)^(5/2)$
$2[(1-t)^(1/2)-2t(1-t)^(3/2)+2(1-t)^(5/2)]$
per voi è giusto?
$int(senx)^3$
sostituisco $t=senx$ cioè $x=arcsent$,$dx=1/sqrt(1-t^2)$
$intt^3(1/sqrt(1-t^2)dt$
poi lo faccio per parti
$F=t$-------$F'=3t$-----$G=2(1-t)^(1/2)$------$G'=(1-t)^(-1/2)$
$intFG'=FG-intF'G$
$2t^3(1-t)^(1/2)-6(2/3t(1-t)^(3/2)-2/3int(1-t)^(3/2))dt$
poi faccio ancora per parti
$2t^3(1-t)^(1/2)-4t(1-t)^(3/2)+4(1-t)^(5/2)$
$2[(1-t)^(1/2)-2t(1-t)^(3/2)+2(1-t)^(5/2)]$
per voi è giusto?
Risposte
Lo farei decisamente più semplice:
$sin^3 x= sin(x)sin^2(x)=sin(x)(1-cos^2(x))$
il primo è immediato, il secondo un "pizzico" meno, ricordando la derivata di $(f(x))^n$, per esempio.
Purtroppo la tua soluzione non riesco a interpretarla: sono di passaggio e la linea internet scrausa non riesce a caricarmi il mathjax. Leggendo il codice per me è corretta ma non vedendo le anteprime... non fidarti troppo!
$sin^3 x= sin(x)sin^2(x)=sin(x)(1-cos^2(x))$
il primo è immediato, il secondo un "pizzico" meno, ricordando la derivata di $(f(x))^n$, per esempio.
Purtroppo la tua soluzione non riesco a interpretarla: sono di passaggio e la linea internet scrausa non riesce a caricarmi il mathjax. Leggendo il codice per me è corretta ma non vedendo le anteprime... non fidarti troppo!
Ramarro, questo integrale è un classicone... lo si risolve in due modi
1) come ti ha scritto giustamente Zero87
2) per parti
provali entrambi per curiosità
1) come ti ha scritto giustamente Zero87
2) per parti
provali entrambi per curiosità
Per parti l'ho gia fatto sopra(anche se ho usato la sostituzione) ma non so se è giusto
scusate volevo sapere se è giusto.
Grazie
Cordiali saluti
Grazie
Cordiali saluti
up
ecco Ramarro arriviamo...
allora te lo faccio passaggio per passaggio per parti:
chiamo con la lettera A l'integrale e scrivo
$ A = int sin^3 x dx = $
$ = int sin x ( sin^2 x) dx =$
ora per parti (integro sinx e derivo sin^2x)
$ = -cosx sin^2 x + 2 int cos^2 x sinx dx $
$ = -cosx (1-cos^2 x) + 2 int (1-sin^2x) sinx dx $
$ = - cosx + cos^3x +2 int sin x dx - 2 int sin^3 x dx $
$ = - 3cosx + cos^3x - 2A $
ne consegue
$ A = - cosx + 1/3 cos^3x + c $
tutto chiaro??
allora te lo faccio passaggio per passaggio per parti:
chiamo con la lettera A l'integrale e scrivo
$ A = int sin^3 x dx = $
$ = int sin x ( sin^2 x) dx =$
ora per parti (integro sinx e derivo sin^2x)
$ = -cosx sin^2 x + 2 int cos^2 x sinx dx $
$ = -cosx (1-cos^2 x) + 2 int (1-sin^2x) sinx dx $
$ = - cosx + cos^3x +2 int sin x dx - 2 int sin^3 x dx $
$ = - 3cosx + cos^3x - 2A $
ne consegue
$ A = - cosx + 1/3 cos^3x + c $
tutto chiaro??
@ramarro
Non mi pare ... anche perché nessuna delle $F, F', G, G'$ è giusta quindi il resto ...
Comunque dovresti fare come ha detto Zero87, anzi ti consiglio di esercitarti su questo perché è un classico integrale trigonometrico ...
Non mi pare ... anche perché nessuna delle $F, F', G, G'$ è giusta quindi il resto ...
Comunque dovresti fare come ha detto Zero87, anzi ti consiglio di esercitarti su questo perché è un classico integrale trigonometrico ...
siamo arrivati quasi assieme alex!! 
))
))
Grazie, ho visto come si fa per parti, cmq volevo provare a farlo anche con la sostituzione sostituendo come ho fatto prima $t=senx$ poi però si vede che per stanchezza mi sono imballato, e la $F$ e la $G$ le ho sbagliate, però a parte quello l'impostazione iniziale cioè $t^3(1/sqrt(1-t^2))dt$ mi sembra giusta no?Poi volevo chiedere è giusto dire che se $senx=t$ allora $x=arcosent$no?...domani la rifaccio anche con la sostituzione.
Grazie
Cordiali saluti
Grazie
Cordiali saluti
Probabilmente un errore di distrazione: se $sin x = t$ allora $x = arcsin t$.
Allora buonasera, ho rifatto l'integrale con la sostituzione, ed è un una cosa terribile: scrivo di seguito quello che ho combinato:
$intt^3(1/(1-t^(1/2))dt$
$F=t^3$----------$F'=3t^2$---------$G=-2(1-t)^(1/2)$------------------$G'=(1-t)^(-1/2)$
1)t^3(-2(1-t)^(1/2))-int3t^2(-2(1-t)^(1/2))$
2)-2t^3(1-t)^(1/2)+6(intt^2(1-t)^(1/2)dt$
poi per parti continua...
$F=t^2$------$F'=2t$-------$G=-2/3(1-t)^(3/2)$--------$G'=(1-t)^(1/2)$
3)-2t^3(1-t)^(1/2)+6(2/3t^2(1-t)^(3/2)-2int(-2/3)(1-t)^(3/2)))dt$
poi ancora per parti ma direi basta perché non capisco il motivo per cui non finisce più questo integrale, evidentemente la sostituzione non è la giusta via di risoluzione....
$intt^3(1/(1-t^(1/2))dt$
$F=t^3$----------$F'=3t^2$---------$G=-2(1-t)^(1/2)$------------------$G'=(1-t)^(-1/2)$
1)t^3(-2(1-t)^(1/2))-int3t^2(-2(1-t)^(1/2))$
2)-2t^3(1-t)^(1/2)+6(intt^2(1-t)^(1/2)dt$
poi per parti continua...
$F=t^2$------$F'=2t$-------$G=-2/3(1-t)^(3/2)$--------$G'=(1-t)^(1/2)$
3)-2t^3(1-t)^(1/2)+6(2/3t^2(1-t)^(3/2)-2int(-2/3)(1-t)^(3/2)))dt$
poi ancora per parti ma direi basta perché non capisco il motivo per cui non finisce più questo integrale, evidentemente la sostituzione non è la giusta via di risoluzione....
Come già detto questo tipo di integrale sono un classico e un modo comune di risolverlo è quello proposto da Zero87.
Se ti può essere utile ti scrivo un altro metodo, la "formula di riduzione".
$int sin^n(x)\ dx\ =\ -1/ncos(x)sin^(n-1)(x)+(n-1)/nint sin^(n-2)(x)\ dx\ $ per $n>=2$ (intero)
Cordialmente, Alex
Se ti può essere utile ti scrivo un altro metodo, la "formula di riduzione".
$int sin^n(x)\ dx\ =\ -1/ncos(x)sin^(n-1)(x)+(n-1)/nint sin^(n-2)(x)\ dx\ $ per $n>=2$ (intero)
Cordialmente, Alex
@ ramarro.
Nel tuo ultimo intervento hai prima fatto una sostituzione e poi integrato per parti, ma è raro che occorrano entrambe le cose: di solito ne basta l'una o l'altra.
Inoltre la sostituzione non va fatta a caso ed un consiglio è cercare di vedere il $dt$. Nel tuo caso hai $sin^3xdx=sin^2x*sinxdx$ ed il primo fattore può facilmente essere espresso anche col coseno (basta pensare che $sin^2x=1-cos^2x$); il secondo fattore è, a parte il segno, la derivata del coseno, quindi la sostituzione da fare non è la tua bensì $t=cosx->dt=-sinxdx$ con cui l'integrale diventa
$int(1-t^2)(-dt)=int(t^2-1)dt=1/3t^3-t+c=1/3cos^3x-cosx+c$.
Altro consiglio: a parte qualche raro caso, le radici sono difficili da integrare. Quando fai una sostituzione e vedi che ti è rimasta qualche radice non semplificabile, cerca un altro metodo, ad esempio una sostituzione diversa. Non è una regola assoluta, ma va bene molto spesso.
Nel tuo ultimo intervento hai prima fatto una sostituzione e poi integrato per parti, ma è raro che occorrano entrambe le cose: di solito ne basta l'una o l'altra.
Inoltre la sostituzione non va fatta a caso ed un consiglio è cercare di vedere il $dt$. Nel tuo caso hai $sin^3xdx=sin^2x*sinxdx$ ed il primo fattore può facilmente essere espresso anche col coseno (basta pensare che $sin^2x=1-cos^2x$); il secondo fattore è, a parte il segno, la derivata del coseno, quindi la sostituzione da fare non è la tua bensì $t=cosx->dt=-sinxdx$ con cui l'integrale diventa
$int(1-t^2)(-dt)=int(t^2-1)dt=1/3t^3-t+c=1/3cos^3x-cosx+c$.
Altro consiglio: a parte qualche raro caso, le radici sono difficili da integrare. Quando fai una sostituzione e vedi che ti è rimasta qualche radice non semplificabile, cerca un altro metodo, ad esempio una sostituzione diversa. Non è una regola assoluta, ma va bene molto spesso.
Grazie a tutti
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