Intersezioni retta-circonferenza

[simki]

Salve a tutti, sto trovando dei problemi nella risoluzione di questo esercizio per prepararmi al test di ingresso di ingegneria.
Si tratta di un esercizio sulla posizione di una retta rispetto ad una circonferenza ma deve essere utilizzato un sistema parametrico e ottengo dei risultati assurdi.
Esercizio: Trova per quali valori di k la circonferenza assegnata interseca la retta di equazione data
Queste sono le due equazioni da mettere a sistema per ottenere le intersezioni:
1) \( x^2 + y^2 - 6x = 0 \) -> equazione circonferenza
2) \( y = x + k \) -> equazione retta

Per procedere vado a sostituire paro paro x + k al posto di y nella prima equazione ma non riesco comunque a venire a capo.
Spero possiate aiutarmi, grazie.

[@melia]

E poi imponi che il discriminante dell'equazione di secondo grado che ottieni sia $>=0$

[simki]

Potresti mostrarmi i passaggi? Anche senza fare tutte le operazioni, perchè ho provato imponendo il discriminante >= 0 ma niente. Grazie

[teorema55]

Anche qui, simki, la questione è semplice..............sei proprio sicuro di volerti iscrivere ad ingegneria?



Scherzi a parte, la tua equazione risolvente deve avere $\Delta>=0$ per ottenere soluzioni reali, cioè per poter calcolare le ascisse dei punti di intersezione ($\Delta>0$) oppure l'ascissa del punto (o punti) di tangenza ($\Delta=0$).

I calcoli ti porteranno a un intervallo di valori per $k$, con estremi diciamo, solo a titolo di esempio

$-3-3\sqrt2$ e $-3+3\sqrt2$

Tu dovrai decidere se i valori che ti interessano siano interni oppure esterni all'intervallo suddetto...............tieni anche presente che sia la circonferenza che la retta sono un po' particolari, il che ti può dare un input ulteriore, o almeno una conferma dei risultati.

[Ragazzo1231]

ciao teorema, nemmeno io ho ben capito il problema... ma ho provato a farlo così:

$\{(x^2+y^2-6x),(y=x+k):}$

$\{(x^2+(x+k)^2-6x),(y=x+k):}$

$\{(x^2+x^2+k^2+2xk-6x),(y=x+k):}$

ma non ha tanto senso il sistema qui in alto... come va risolto??

[teorema55]

Beh...............comincerei con il lasciare che la prima equazione rimanga tale.

Fatto questo, fai qualche considerazione preliminare per farti un'idea del problema. La circonferenza, mancando del termine $y$ e del termine noto, è tangente all'asse $y$ nel punto $O(0,0)$. E' quindi simmetrica rispetto all'asse $x$. Ti basta trovare qualche punto che le appartiene per verificare che si trova nei I e IV quadranti.

Il fascio di rette ha coefficiente angolare $m=1$, quindi si tratta di rette parallele alla bisettrice del I e III quadrante, la cui altezza (o, meglio, intersezione con l'asse $y$) varia al variare del parametro $k$, anzi vale proprio $y=k$.

Detto questo, consideriamo il sistema

$\{(x^2+y^2-6x=0),(y=x+k):}$

La $y$ è già esplicitata nella seconda equazione e quindi il procedimento di simki di sostituirla "paro paro" nella prima equazione direi che va benissimo:

$\{(x^2+(x+k)^2-6x=0),(y=x+k):}$

Dopo qualche semplice passaggio e riordinando arrivi a

$\{(2x^2 + 2(k-3)x +k^2=0),(y=x+k):}$

A questo punto occorre ricordare che, affinché due curve abbiano punti in comune, l'equazione risolvente del sistema deve avere $\Delta>=0$ (nel primo caso saranno secanti, nel secondo saranno tangenti).

Calcoliamo il $\Delta$:

$\Delta=4(k-3)^2 -8k^2>=0$

Anche qui sarà facile arrivare a

$k^2+6k-9<=0$

Nota bene che, avendo diviso il polinomio risultante per $-4$, ho cambiato il verso della disequazione.

Spero che il resto sia alla tua portata..........anzi, posta il risultato. Vuoi?

[Ragazzo1231]

$k^2+6k−9≤0$

$k_(1,2)=(-6+-6sqrt(2))/2$

$k_1= -3+3sqrt(2)$

$k_2= -3-3sqrt(2)$

se metto questi due valori di k nella retta di equazione $y=x+k$ trovo le due rette che intersecano nella circonferenza?

[teorema55]

No.

Ciò che cerchi con una disequazione è un intervallo. I due valori sono i limiti di quell'intervallo, quelli che annullano il $\Delta$. Ergo:

- cosa avviene quando $k$ assume uno o l'altro di questi valori?
- quale intervallo di valori soddisfa (cioè rende vera) la tua disequazione?
- cosa avviene quando $k$ assume un v alore compreso in quell'intervallo?
- e che cosa succede invece quando $k$ è un valore che non appartiene a quell'intervallo?

Comunque sia, signorino, ci vuole umiltà e olio di gomito. Scommetto che non hai ancora disegnato un grafico che rappresenti il tuo problema. Fallo. E poi disegna, oltre la circonferenza, che è unica, le varie rette che hanno equazione con $k$ che coincide con i valori che hai trovato, poi con valori interni e poi ancora con valori esterni all'intervallo che ha per estremi quei valori. Prendi (oltre i due trovati) valori semplici, per esempio $k=0$. Poi $k=2$. Vedrai che molte idee ti si schiariranno. Devi sporcarti le mani se vuoi ottenere un risultato. Palla lunga e pedalare!!

E poi fammi sapere. Ok?

Buon divertimento.

Marco

[teorema55]

"teorema55":Beh...............comincerei con il lasciare che la prima equazione rimanga tale.

Intendevo dire che quello che tu hai scritto come prima equazione non è un'equazione. E' un semplice polinomio. Non vedi che non contiene alcun segno di $=$ ? Conosci qualche equazione senza un segno di uguaglianza?

[Ragazzo1231]

se prendo k=2 non c'è nessuna intersezione tra la retta e la circonferenza, mentre se prendo 0 interseca in 2 punti.
in pratica ogni valore che sta nell'intervallo $−3-3sqrt(2)

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[teorema55]

Giusto, le cose cominciano a quadrare. E se $k$ vale proprio uno o l'altro dei due estremi?

[Ragazzo1231]

Se k prende i valori degli estremi semplicemente le due rette sono tangenti alla circonferenza.

[teorema55]