Intersezione tra $ y = x^3 + 1 $ e $ y = x $
Sto facendo un po' di prove di matematica per i test di ammissione, mi servirebbe aiuto con questa:
"In quanti punti si intersecano le curve $ y = x^3 +1 $ e $ y = x $? (risp: 1)"
Io per trovare le intersezioni metto a sistema le due funzioni:
$ { ( y=x^3+1 ),( y=x ):} rArr { ( x=x^3+1 ),( y=x ):} rArr { ( x=(x+1)(x^2-x+1) ),( y=x ):} rArr { ( (x+1)(x^2-x+1)-x=0 ),( y=x ):} $
e poi mi blocco, che nervoso
.
"In quanti punti si intersecano le curve $ y = x^3 +1 $ e $ y = x $? (risp: 1)"
Io per trovare le intersezioni metto a sistema le due funzioni:
$ { ( y=x^3+1 ),( y=x ):} rArr { ( x=x^3+1 ),( y=x ):} rArr { ( x=(x+1)(x^2-x+1) ),( y=x ):} rArr { ( (x+1)(x^2-x+1)-x=0 ),( y=x ):} $
e poi mi blocco, che nervoso
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Risposte
Scusa la brutalità, ma in pratica non hai fatto nulla.
In sintesi devi trovare le radici, o meglio il numero delle radici, del polinomio $x^3-x+1$
Se conosci un po' i polinomi, saprai che c'è o una sola radice oppure tre.
Per capire in quale dei due casi siamo, conviene sfruttare la derivata
In sintesi devi trovare le radici, o meglio il numero delle radici, del polinomio $x^3-x+1$
Se conosci un po' i polinomi, saprai che c'è o una sola radice oppure tre.
Per capire in quale dei due casi siamo, conviene sfruttare la derivata
Se cerchi di risolvere l'equazione di terzo grado, quindi o le formule di Cardano (un vero casino) o la soluzione grafica, tanto più che la domanda è quante sono, non quali sono.
Disegna la retta, disegna la cubica ed è fatta.
Magari, per essere più sicuro ricorda che:
Un'equazione di terzo grado ammette almeno una soluzione reale oppure 3 soluzioni reali (tenendo conto di eventuali moleplicità).
Disegna la retta, disegna la cubica ed è fatta.
Magari, per essere più sicuro ricorda che:
Un'equazione di terzo grado ammette almeno una soluzione reale oppure 3 soluzioni reali (tenendo conto di eventuali moleplicità).
Allora ricordavo male io, ero convinto che le equazioni ammettessero al massimo $ n $ soluzioni pari al grado dell'equazione, quindi per una di terzo grado, al massimo 3 soluzioni, non sapevo che ne ammettesse come minimo una, pensavo anche 0.
Quindi mi conviene usare il metodo grafico durante un test, per non perdere tempo?
Gi8, che cosa intendi per sfruttare la derivata?
Quindi mi conviene usare il metodo grafico durante un test, per non perdere tempo?
Gi8, che cosa intendi per sfruttare la derivata?
In $RR$, una equazione di grado pari ha un numero pari di radici.
Una equazione di grado dispari ha un numero dispari di soluzioni.
Sicuramente è più veloce il metodo grafico.
Per quanto riguarda la derivata, viene $3x^2-1$
Essa si annulla in $x= - sqrt3/3$ e in $x=sqrt3/3$
Se $x< - sqrt3/3 vv x> sqrt3/3$ la funzione $f(x)=x^3-x+1$ è crescente, altrimenti è decrescente
Notiamo che $f(-sqrt3/3)>0$, quindi c'è una radice in $(-oo,-sqrt3/3)$
Inoltre $f(sqrt3/3)>0$, quindi per $x> -sqrt3/3$ non ci sono radici
Una equazione di grado dispari ha un numero dispari di soluzioni.
Sicuramente è più veloce il metodo grafico.
Per quanto riguarda la derivata, viene $3x^2-1$
Essa si annulla in $x= - sqrt3/3$ e in $x=sqrt3/3$
Se $x< - sqrt3/3 vv x> sqrt3/3$ la funzione $f(x)=x^3-x+1$ è crescente, altrimenti è decrescente
Notiamo che $f(-sqrt3/3)>0$, quindi c'è una radice in $(-oo,-sqrt3/3)$
Inoltre $f(sqrt3/3)>0$, quindi per $x> -sqrt3/3$ non ci sono radici
"Gi8":
Notiamo che $f(-sqrt3/3)>0$, quindi c'è una radice in $(-oo,-sqrt3/3)$
Inoltre $f(sqrt3/3)>0$, quindi per $x> -sqrt3/3$ non ci sono radici
Non ho capito questo pezzo. La funzione è positiva in $-sqrt3/3$ e la conclusione è che c'è una radice in $(-oo,-sqrt3/3)$ ? Non seguo il ragionamento. Stessa cosa per $f(sqrt3/3)>0$
E poi come mai hai escluso a priori che ci fossero 3 radici? Il grado dell'equazione è 3, ed è dispari come 1, come facevi a sapere senza fare i calcoli che ci fosse solo una radice?
Si ha che $lim_(x-> -oo) f(x)= -oo$
La funzione è strettamente crescente in $(-oo, sqrt3/3)$, quindi $sqrt3/3$ è un punto di massimo relativo.
La funzione assume tutti i valori tra $-oo$ e $f(sqrt3/3)$ (che è un numero positivo)
Quindi a un certo punto assumerà anche il valore $0$. CIoè $EE c in (-oo,sqrt3/3)$ tale che $f(c)=0$
E' puro studio di funzione. Non l'hai mai fatto?
La funzione è strettamente crescente in $(-oo, sqrt3/3)$, quindi $sqrt3/3$ è un punto di massimo relativo.
La funzione assume tutti i valori tra $-oo$ e $f(sqrt3/3)$ (che è un numero positivo)
Quindi a un certo punto assumerà anche il valore $0$. CIoè $EE c in (-oo,sqrt3/3)$ tale che $f(c)=0$
E' puro studio di funzione. Non l'hai mai fatto?
Scusami, pensavo fossero le coordinate di un punto quelle tra parentesi, invece è un intervallo, che stupido, mi sembrava strano quel $ -oo $ 
.
Io trovo il limite della funzione per $x->-oo$ e vedo che la funzione è negativa per valori molto grandi di $x$.
Calcolo la derivata e trovo che la funzione è crescente per valori che vanno da $(-oo, -sqrt3/3) uu (sqrt3/3, +oo)$.
Vedo che $f(-sqrt3/3)>0$ e, sapendo dal limite che la funzione è negativa per valori molto grandi di $x$, vuol dire che per essere positiva deve intersecarsi necessariamente con l'asse delle $x$ ed avere quindi una radice nell'intervallo $(-oo, -sqrt3/3)$ .
Il ragionamento è corretto? Sono 2 anni che non faccio lo studio di funzione
.
Quello che non ho capito è come faccio a provare che non ci siano radici nell'intervallo $(-sqrt3/3, sqrt3/3)$ (la funzione non potrebbe decrescere a tal punto di intersecarsi di nuovo con l'asse?) e nell'intervallo $(sqrt3/3, +oo)$.
Ti ringrazio per la pazienza
.
.Io trovo il limite della funzione per $x->-oo$ e vedo che la funzione è negativa per valori molto grandi di $x$.
Calcolo la derivata e trovo che la funzione è crescente per valori che vanno da $(-oo, -sqrt3/3) uu (sqrt3/3, +oo)$.
Vedo che $f(-sqrt3/3)>0$ e, sapendo dal limite che la funzione è negativa per valori molto grandi di $x$, vuol dire che per essere positiva deve intersecarsi necessariamente con l'asse delle $x$ ed avere quindi una radice nell'intervallo $(-oo, -sqrt3/3)$ .
Il ragionamento è corretto? Sono 2 anni che non faccio lo studio di funzione
.Quello che non ho capito è come faccio a provare che non ci siano radici nell'intervallo $(-sqrt3/3, sqrt3/3)$ (la funzione non potrebbe decrescere a tal punto di intersecarsi di nuovo con l'asse?) e nell'intervallo $(sqrt3/3, +oo)$.
Ti ringrazio per la pazienza
.
In generale, dai un occhiata se casomai puoi usare Ruffini, portandoti il polinomio a grado due.
"Snipy":Sì
Io trovo il limite della funzione per $x->-oo$ e vedo che la funzione è negativa per valori molto grandi di $x$.
Calcolo la derivata e trovo che la funzione è crescente per valori che vanno da $(-oo, -sqrt3/3) uu (sqrt3/3, +oo)$.
Vedo che $f(-sqrt3/3)>0$ e, sapendo dal limite che la funzione è negativa per valori molto grandi di $x$, vuol dire che per essere positiva deve intersecarsi necessariamente con l'asse delle $x$ ed avere quindi una radice nell'intervallo $(-oo, -sqrt3/3)$ . Il ragionamento è corretto?
"Snipy":Basta fare un ragionamento analogo a quello precedente.
Quello che non ho capito è come faccio a provare che non ci siano radici nell'intervallo $(-sqrt3/3, sqrt3/3)$ (la funzione non potrebbe decrescere a tal punto di intersecarsi di nuovo con l'asse?) e nell'intervallo $(sqrt3/3, +oo)$
Abbiamo che $f(-sqrt3/3)>0$, $f(sqrt3/3)>0$ e che la funzione è strettamente decrescente in $[-sqrt3/3,sqrt3/3]$. Dunque...
Idem per $[sqrt3/3, +oo)$
"Snipy":Io 5 anni
Sono 2 anni che non faccio lo studio di funzione
Adesso è tutto chiaro, ti ringrazio 
anche se sicuramente il test non chiedeva tutto questo, ma mi piace approfondire.
anche se sicuramente il test non chiedeva tutto questo, ma mi piace approfondire.
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