Intersezione tra una cubica e una retta
Ciao web, da quanto ho capito la risoluzione di un'equazione di terzo grado restituisce 2 soluzioni complesse ed una soltanto reale, se però ho due curve, una cubica e una retta, avrò in certi casi che la retta interseca la curva in tre punti diversi quindi mettendo a sistema retta e cubica dovrò ottenere tre valori reali mentre per la formula risolutiva ne posso ottenere uno solo, mi chiedo allora sono io che non ho capito la formula risolutiva e mi sfugge qualcosa o la formula non è adatta?
Per farla più semplice se conosco le soluzioni di un'equazione di terzo grado ottenute dal prodotto di 3 binomi di primo grado come il seguente
\(\displaystyle (x-3)(x+2)(x-4)=0 \)
Che diventerebbe
\(\displaystyle x^3-5x^2-2x+24=0 \)
Dalla formula risolutiva dovrei ottenere una sola soluzione di quelle, le altre come dovrei estrarle se ciò che ho detto sulla formula risolutiva è giusto?
Un metodo che avevo pensato è quello della scomposizione, cioè dividendo per il binomio di primo grado con la soluzione ottenendo un'equazione di secondo grado da cui dovrei ottenere le altre due soluzioni, ma non so' se può funzionare.
Per farla più semplice se conosco le soluzioni di un'equazione di terzo grado ottenute dal prodotto di 3 binomi di primo grado come il seguente
\(\displaystyle (x-3)(x+2)(x-4)=0 \)
Che diventerebbe
\(\displaystyle x^3-5x^2-2x+24=0 \)
Dalla formula risolutiva dovrei ottenere una sola soluzione di quelle, le altre come dovrei estrarle se ciò che ho detto sulla formula risolutiva è giusto?
Un metodo che avevo pensato è quello della scomposizione, cioè dividendo per il binomio di primo grado con la soluzione ottenendo un'equazione di secondo grado da cui dovrei ottenere le altre due soluzioni, ma non so' se può funzionare.
Risposte
Le tue osservazioni sono giuste; è sbagliata la prima frase perché un'equazione di terzo grado può avere 2 soluzioni complesse ed una reale, ma può anche avere tre soluzioni reali. La regola generale, valida per tutti i gradi, è "se i coefficienti sono reali, le soluzioni complesse sono in numero pari" ed è un numero pari anche zero (quando cioè non ci sono soluzioni complesse).
Con geogebra ho provato a calcolare l'intersezione con la formula risolutiva e mi sono accorto che la formula risolutiva funziona soltanto se esiste una soluzione reale e quindi quando tra retta e curva ce un solo punto di intersezione, quindi suppongo che gli altri due siano immaginari e in questo caso ce da aspettarselo come dice anche wiki, ho notato poi che quando i punti di intersezione sono maggiori di 1,quindi 2 o 3, il delta della radice quadrata della formula risolutiva e pertanto è negativo, qua ci sono dunque 3 soluzioni complesse e nessuna reale allora questo è il mio dubbio maggiore, se l'intersezioni ci sono e sono reali perché dall'equazione riesco ad estrarre solo numeri complessi? La cosa più importante come trovo questi punti?
Avevo pensato che i punti sono equivalenti alla rappresentazione dei numeri complessi nel piano complesso, ma non ne sono sicuro, grazie dell'aiuto giammaria
Edit: Ho risolto praticamente la formula risolutiva include 3 soluzioni complesse dove però la parte immaginaria è nulla e che quindi si tratta di 3 numeri reali, e questo può accadere proprio quando il delta della formula risolutiva è proprio minore di zero quindi...
Avevo pensato che i punti sono equivalenti alla rappresentazione dei numeri complessi nel piano complesso, ma non ne sono sicuro, grazie dell'aiuto giammaria
Edit: Ho risolto praticamente la formula risolutiva include 3 soluzioni complesse dove però la parte immaginaria è nulla e che quindi si tratta di 3 numeri reali, e questo può accadere proprio quando il delta della formula risolutiva è proprio minore di zero quindi...
Vedo dall'edit che hai già trovato la risposta, ma penso possa interessarti averne anche un'altra. Finora avevo evitato di parlarne perché la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado è argomento universitario e quindi esula da questa sezione del forum.
Come ti ho già detto, un'equazione di terzo grado può avere tre soluzioni reali e tu stesso l'hai dimostrato nel tuo primo post, in cui hai ottenuto l'equazione proprio partendo dalle soluzioni. E' però vero che tutte le volte che questo si verifica, ad un certo punto dei calcoli si trovano numeri complessi: basta non scoraggiarsi e continuare e si arriva a risultati reali. Proprio questo fatto (suppongo non da solo) ha convinto i matematici dell'utilità dei numeri complessi, che erano stati inventati molti anni prima ma mai presi in considerazione. Si obiettava infatti che erano inutili e la dimostrazione del contrario è venuta proprio dalla formula per il terzo grado; con partenza ed arrivo in campo reale, la strada attraversa il campo complesso.
Come ti ho già detto, un'equazione di terzo grado può avere tre soluzioni reali e tu stesso l'hai dimostrato nel tuo primo post, in cui hai ottenuto l'equazione proprio partendo dalle soluzioni. E' però vero che tutte le volte che questo si verifica, ad un certo punto dei calcoli si trovano numeri complessi: basta non scoraggiarsi e continuare e si arriva a risultati reali. Proprio questo fatto (suppongo non da solo) ha convinto i matematici dell'utilità dei numeri complessi, che erano stati inventati molti anni prima ma mai presi in considerazione. Si obiettava infatti che erano inutili e la dimostrazione del contrario è venuta proprio dalla formula per il terzo grado; con partenza ed arrivo in campo reale, la strada attraversa il campo complesso.
Si, in effetti è proprio quello che accade 
si arriva al campo reale passando da quello complesso.
Non sapevo in che sezione inserire il post so' che sicuramente non si affronta alle superiori e non sapevo nemmeno che si affrontasse all'università sono solo appassionato e per questo mi piace affrontare le cose difficili e superarle, anche se in questo caso mi sarebbe utile per altri scopi, grazie ancora per l'aiuto buona serata
si arriva al campo reale passando da quello complesso.Non sapevo in che sezione inserire il post so' che sicuramente non si affronta alle superiori e non sapevo nemmeno che si affrontasse all'università sono solo appassionato e per questo mi piace affrontare le cose difficili e superarle, anche se in questo caso mi sarebbe utile per altri scopi, grazie ancora per l'aiuto buona serata
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