Intersezione tra due curve
Stavo rivedendo un pò di temi d'esame del liceo, e vorrei sapere se va bene la risoluzione di questo esercizio:
Nel piano Oxy, sono date le curve $pi$ e $r$, di equazioni:
$\pi : x^2 = 4(x-y)$ e $r: 4y= X+6$
1) Si provi che le due curve non hanno punti in comune.
Quando impongo le interesezioni tra le curve viene una equazione di secondo grado:
$x^2-3x-6=0$ il che mi da due radici distinte. E quindi non posso rispondere alla domanda.
Se facessi una matrice delle due curve dovrei mettere i coefficienti di una curva generale del tipo:
$ax^2+by^2+cx+dy+e*xy+f=0$ per entrambe
verebbe una matrice $(2 x 6)$, non posso rispondere alla domanda con una considerazione sulla matrice?
Nel piano Oxy, sono date le curve $pi$ e $r$, di equazioni:
$\pi : x^2 = 4(x-y)$ e $r: 4y= X+6$
1) Si provi che le due curve non hanno punti in comune.
Quando impongo le interesezioni tra le curve viene una equazione di secondo grado:
$x^2-3x-6=0$ il che mi da due radici distinte. E quindi non posso rispondere alla domanda.
Se facessi una matrice delle due curve dovrei mettere i coefficienti di una curva generale del tipo:
$ax^2+by^2+cx+dy+e*xy+f=0$ per entrambe
verebbe una matrice $(2 x 6)$, non posso rispondere alla domanda con una considerazione sulla matrice?
Risposte
"clever":
Quando impongo le interesezioni tra le curve viene una equazione di secondo grado:
$x^2-3x-6=0$ il che mi da due radici distinte.
Hai fatto un errore di segno, l'equazione di secondo grado che nasce dal sistema è $x^2-3x+6=0$, che ha discriminante negativo e permette di rispondere alla domanda.
Ah bene <.<
Provo con un altro quesito attinente a questo problema.
2)Si trovi il punto P appartenente alla parabola che ha distanza minima dalla retta.
scrivo in forma canonica parabola e retta:
$y= -1/4 x^2 + x$ e $y=1/4 x + 3/2$
per trovare il punto di minima distanza della parabola, faccio la derivata prima alla parabola, impongo uguale a 0 e mi trovo il punto.
$dy/dx = -1/2 x + 1 =0$
$P=(2,0)$
giusto?
Provo con un altro quesito attinente a questo problema.
2)Si trovi il punto P appartenente alla parabola che ha distanza minima dalla retta.
scrivo in forma canonica parabola e retta:
$y= -1/4 x^2 + x$ e $y=1/4 x + 3/2$
per trovare il punto di minima distanza della parabola, faccio la derivata prima alla parabola, impongo uguale a 0 e mi trovo il punto.
$dy/dx = -1/2 x + 1 =0$
$P=(2,0)$
giusto?
Direi di no. Il punto [tex]$P \;$[/tex] che hai ricavato non appartiene alla parabola; infatti posto [tex]$f(x)=-\frac{1}{4} x^{2} +x$[/tex], si ha che [tex]$f(2)=- \frac{1}{4} \cdot 4 + 2=-1+2=1 \ne 0$[/tex].
Per risolvere il problema devi scrivere la funzione che rappresenti la distanza tra un generico punto [tex]$P \;$[/tex] della parabola e la retta considerata al variare di [tex]$x$[/tex] e quindi ricavare, tramite lo studio della derivata prima, il minimo assoluto.
Per risolvere il problema devi scrivere la funzione che rappresenti la distanza tra un generico punto [tex]$P \;$[/tex] della parabola e la retta considerata al variare di [tex]$x$[/tex] e quindi ricavare, tramite lo studio della derivata prima, il minimo assoluto.
Il punto della parabola che ha quella proprietà è quello in cui la tangente è parallela alla retta data, e cioè ha coefficiente angolare $m = 1/4$. Quindi devi calcolare $y' = -1/2 * x + 1$ e risolvere l'equazione $y' = 1/4$, cioè $-1/2 * x + 1 = 1/4$.
Questa equazione ha soluzione $x= 3/2$. Per l'ordinata del punto basta sostituire questo valore dell'ascissa nell'equazione della parabola: $y = -1/4 * (3/2)^2 + 3/2 = 15/16$.
Questa equazione ha soluzione $x= 3/2$. Per l'ordinata del punto basta sostituire questo valore dell'ascissa nell'equazione della parabola: $y = -1/4 * (3/2)^2 + 3/2 = 15/16$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo