Intersezione fra curva logaritmica e curva esponenziale
Salve a tutti, vi chiedo aiuto con questo particolare problema di cui non ne vengo a capo, o meglio ne vengo a capo ma con considerazioni che mi sembrano un po' troppo complesse e che non penso siano quelle ottimali per il problema (un lunghissimo studio di limiti e ordini di infinito che non so nemmeno se sia tutto giusto)
Sono date due funzioni: $f(x)=\2^{x-1}+2$ e $g(x)=\log_{2}ax+2$
Trovare per quale valore del parametro $a$ le due funzioni si intersecano in un solo punto
Il vero punto della questione su cui non riesco a far fronte è quello del sistema,perchè facendo un sistema non si riesce a isolare la variabile? Ho provato perfino con la Funzione $W$ di Lambert ma non riesco a isolare la variabile nemmeno con quella e sebbene la risposta al problema sia abbastanza intuibile ($a<0$) non riesco a dimostrarlo per via razionale e precisa. Pensavo che forse il punto è dimostrare l'esistenza o inesistenza di una soluzione per $a>0$ arrivando a un assurdo del tipo $a>0$ che implica $x<0$ (che andrebbe contro il dominio di $g(x)$). Quello che ho fatto io e che mi è sembrato complicato (anche visto che alcune di quelle cose non le abbiamo ancora fatte e penso non sia quello lo scopo dell'esercizio) è cercare gli zeri di una funzione $b(x)=\f(x)-g(x)$ e dimostrare che per $a>0$ non ha zeri mentre ne ha per $a<0$ (ho studiato i limiti per gli estremi del dominio di $b(x)$ e vedendo che erano opposti ho usato il teorema degli zeri). Ero curioso di sapere se ci fosse un'altra strada e del perchè non riesco a risolvere il sistema tra $f(x)$ e $g(x)$
Grazie a tutti in anticipo per le risposte
Sono date due funzioni: $f(x)=\2^{x-1}+2$ e $g(x)=\log_{2}ax+2$
Trovare per quale valore del parametro $a$ le due funzioni si intersecano in un solo punto
Il vero punto della questione su cui non riesco a far fronte è quello del sistema,perchè facendo un sistema non si riesce a isolare la variabile? Ho provato perfino con la Funzione $W$ di Lambert ma non riesco a isolare la variabile nemmeno con quella e sebbene la risposta al problema sia abbastanza intuibile ($a<0$) non riesco a dimostrarlo per via razionale e precisa. Pensavo che forse il punto è dimostrare l'esistenza o inesistenza di una soluzione per $a>0$ arrivando a un assurdo del tipo $a>0$ che implica $x<0$ (che andrebbe contro il dominio di $g(x)$). Quello che ho fatto io e che mi è sembrato complicato (anche visto che alcune di quelle cose non le abbiamo ancora fatte e penso non sia quello lo scopo dell'esercizio) è cercare gli zeri di una funzione $b(x)=\f(x)-g(x)$ e dimostrare che per $a>0$ non ha zeri mentre ne ha per $a<0$ (ho studiato i limiti per gli estremi del dominio di $b(x)$ e vedendo che erano opposti ho usato il teorema degli zeri). Ero curioso di sapere se ci fosse un'altra strada e del perchè non riesco a risolvere il sistema tra $f(x)$ e $g(x)$
Grazie a tutti in anticipo per le risposte
Risposte
Ciao. Penso che tu abbia capito piú o meno dove sta il problema. Prova a disegnarle approssimativamente su un grafico.
Il motivo per cui non riesci a risolvere il sistema fra $f(x)$ e $g(x)$ è quello che hai trovato: c'è un'equazione parametrica e non è risolubile in termini esatti. Chiedi se c'è un'altra soluzione e ti do la mia.
Ho cominciato ad abbassare le curve di $2$ unità, considerando $f_1(x)=2^(x-1)$ e $g_1(x)=log_2ax$: questo non altera né il numero delle soluzioni né la loro ascissa. Per l'esistenza del logaritmo deve essere $ax>0$ e con questa condizione posso scrivere $g_1(x)=log_2|a|+log_2|x|$: il grafico è quindi quello del logaritmo, traslato verso l'alto o verso il basso di $log_2|a|$. Mi è ora facile immaginare i due grafici e farne uno schizzo anche senza calcoli.
Nel caso $a>0$ deve essere anche $x>0$. Le due curve in generale non si incontrano oppure lo fanno in due punti; questi possono però coincidere ed essere considerati uno solo in caso di tangenza. Allora sono uguali anche le derivate e si ha
$2^(x-1)ln2=1/x$
Questa equazione può essere risolta solo con metodi approssimati ma non contiene il parametro e ne posso dare una soluzione numerica; il grafico mostra che ce n'è una ed una sola positiva. Nota $x$, ricavo $a$ eguagliando le ordinate, con
$2^(x-1)= log_2a+log_2x$
Nel caso $a<0$ deve essere anche $x<0$. Indipendentemente dalla traslazione del logaritmo, le due curve si incontrano in un punto ed uno solo.
Ho cominciato ad abbassare le curve di $2$ unità, considerando $f_1(x)=2^(x-1)$ e $g_1(x)=log_2ax$: questo non altera né il numero delle soluzioni né la loro ascissa. Per l'esistenza del logaritmo deve essere $ax>0$ e con questa condizione posso scrivere $g_1(x)=log_2|a|+log_2|x|$: il grafico è quindi quello del logaritmo, traslato verso l'alto o verso il basso di $log_2|a|$. Mi è ora facile immaginare i due grafici e farne uno schizzo anche senza calcoli.
Nel caso $a>0$ deve essere anche $x>0$. Le due curve in generale non si incontrano oppure lo fanno in due punti; questi possono però coincidere ed essere considerati uno solo in caso di tangenza. Allora sono uguali anche le derivate e si ha
$2^(x-1)ln2=1/x$
Questa equazione può essere risolta solo con metodi approssimati ma non contiene il parametro e ne posso dare una soluzione numerica; il grafico mostra che ce n'è una ed una sola positiva. Nota $x$, ricavo $a$ eguagliando le ordinate, con
$2^(x-1)= log_2a+log_2x$
Nel caso $a<0$ deve essere anche $x<0$. Indipendentemente dalla traslazione del logaritmo, le due curve si incontrano in un punto ed uno solo.
è possibile che le due curve non siano tangenti per nessun valore di $a>0$? Il problema dice "trovare per quali valori del parametro $a$ le due curve si intersecano in un solo punto", è possibile che il problema consideri il punto di tangenza come punto doppio e quindi non valido? è possibile che l'equazione di uguaglianza fra le derivate delle due curve non abbia soluzioni nei reali?
La prima che hai detto: è possibile che il problema consideri il punto di tangenza come punto doppio e quindi non valido.
Concordo in pieno con @melia; non per nulla ho scritto che i due punti concidenti "possono essere considerati uno solo" invece del semplice "sono uno solo".
Quanto alla domanda sulla soluzione dell'eguaglianza fra le derivate, ho scritto e confermo che "il grafico mostra che ce n'è una ed una sola positiva".
Quanto alla domanda sulla soluzione dell'eguaglianza fra le derivate, ho scritto e confermo che "il grafico mostra che ce n'è una ed una sola positiva".
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