Interrogazione in vista help!

[robyem]

Ragazzi sono allo stremo.Ho bisogno una mano per una interrogazione che dovrei fare sabato per recuperare una carenza. Sono disperato.Ho bisogno di una mano per capire due problemi in allegato che possono essere d'esempio per l'interrogazione.Mi potete aiutare? Vi prego...
Ringrazio di cuore in anticipo.

[mc2]

Problema 1

Il punto di ordinata -1 e`

[math]A=(4,-1)[/math]

la circonferenza deve essere tangente alla retta r:

[math]y=\frac{x}{2}-3[/math]

nel punto A, quindi il suo centro deve trovarsi sulla retta t perpendicolare a r e passante per A:

t:

[math]y+1=-2(x-4)[/math]

,

[math]y=-2x+7[/math]

Il punto C centro della circonferenza deve avere coordinate

[math]C(x_0,y_0)[/math]

con

[math]y_0=-2x_0+7[/math]

cioe`

[math]C (x_0,7-2x_0)[/math]

La circonferenza generica con centro in C ha equazione:

[math](x-x_0)^2+(y-(7-2x_0))^2=R^2[/math]

dove

[math]x_0[/math]

ed

[math]R[/math]

sono due parametri incogniti, da determinare con le ulteriori condizioni.


La prima condizione e` che la circonferenza passi per A, dove e` tangente ad r:

[math](4-x_0)^2+(-1-(7-2x_0))^2=R^2[/math]

[math](4-x_0)^2+(-8+2x_0))^2=R^2[/math]

[math]5(4-x_0)^2=R^2[/math]

quindi la generica circonferenza tangente a r in A ha equazione

[math](x-x_0)^2+(y-(7-2x_0))^2=5(4-x_0)^2[/math]

Domanda a)

La circonferenza deve essere tangente all'asse y, cioe` il suo centro deve distanre R dall'asse y:

[math]|x_0|=R[/math]

e` la seconda condizione che, messa insieme alla prima (equazione rossa) permette di ricavare

[math]x_0[/math]

:

[math]5(4-x_0)^2=x_0^2[/math]

risolvendo l'equazione di secondo grado si trovano due soluzioni

[math]x_0=5\pm\sqrt{5}[/math]

a cui corrispondono due circonferenze:

[math](x-5-\sqrt{5})^2+(y+3+2\sqrt{5})^2=(5+\sqrt{5})^2[/math]

e

[math](x-5+\sqrt{5})^2+(y+3-2\sqrt{5})^2=(5-\sqrt{5})^2[/math]

Domanda b)

seconda bisettrice: retta b:

[math]x+y=0[/math]

se la circonferenza stacca sulla retta b una corda di lunghezza 2, allora la semicorda ha lunghezza 1 e dista dal centro (per il teorema di Pitagora):

[math]d=\sqrt{R^2-1}[/math]

quindi bisogna trovare il punto

[math]C(x_0,7-2x_0)[/math]

che disti R dalla retta r e disti d dalla retta b


retta r:

[math]y=-3+\frac{x}{2}[/math]

cioe`

[math]x-2y-6=0[/math]

Distanza di C da r:

[math]R=\frac{|x_0-2(7-2x_0)-6|}{\sqrt{5}}=\frac{|5x_0-20|}{\sqrt{5}}=|\sqrt{5}(x_0-4)|[/math]

(coincide con la condizione trovata prima, equazione in rosso)


Distanza di C da b:

[math]\sqrt{R^2-1}=\frac{|x_0+7-2x_0|}{\sqrt{2}}=\frac{|7-x_0|}{\sqrt{2}}[/math]

Mettiamo insieme le due condizioni trovate: elevando al quadrato la prima e sostituendola ad R nella seconda (anch'essa al quadrato) si ha

[math]5(x_0-4)^2-1=\frac{1}{2}(7-x_0)^2[/math]

risolvendo l'equazione di secondo grado si trovano due soluzioni:

[math]x_0=\frac{11\pm\sqrt{12}}{3}[/math]

a cui corrispondono due circonferenze, le cui equazioni so ottengono sostituendo questi valori di x_0 nell'equazione in viola.



Domanda c)


Sostituiamo x=0 e y=0 nell'equazione generica (in viola):

[math](0-x_0)^2+(0-(7-2x_0))^2=R^2[/math]

[math]5x_0^2-28x_0+49=R^2[/math]

questa condizione va messa a sistema con la prima (equazione in rosso) e si ricava x_0:

[math]5x_0^2-28x_0+49=5(x_0-4)^2[/math]

si ottiene un'equazione di primo grado che ammette la soluzione

[math]x_0=\frac{31}{12}[/math]

e l'equazione della circonferenza si ottiene sostituendo nell'equazione in viola

Aggiunto 27 minuti più tardi:

Secondo problema


Parabola con asse verticale:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

deve avere il vertice nel punto

[math]V(4,1)[/math]

, quindi

[math]-\frac{b}{2a}=4[/math]

, cioe`

[math]b=-8a[/math]

e deve passare per V:

[math]1=16a+4b+c=16a-32a+c[/math]

cioe`

[math]c=1+16a[/math]

L'equazione della parabola generica con asse verticale e vertice in V e`:

[math]y=ax^2-8ax+16a+1[/math]

Domanda a)

si mettono a sistema l'equazione della parabola e della bisettrice:

[math]\left\{
\begin{array}[c]{l}
y=ax^2-8ax+16a+1 \\
y=x \end{array}\right.[/math]

[math]ax^2-(8a+1)x+16a+1=0[/math]

per la condizione di tangenza bisogna che il discriminante di questa equazione sia nullo:

[math]\Delta=(8a+1)^2-4a(16a+1)=0[/math]

si ottiene

[math]a=-\frac{1}{12}[/math]

e la parabola e` :

[math]y=-\frac{x^2}{12}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}[/math]

Domanda b)


Passaggio per origine:

[math]0=16a+1[/math]

[math]a=-\frac{1}{16}[/math]

[math]y=-\frac{x^2}{16}+\frac{1}{2}x[/math]

Domanda c)

Una retta generica passante per l'origine e`

[math]y=mx[/math]

e deve essere tangente alla parabola trovata in b):

[math]\left\{
\begin{array}[c]{l}
y=-\frac{x^2}{16}+\frac{x}{2} \\
y=mx \end{array}\right.[/math]

[math]x^2+(16m-8)x=0[/math]

il discriminante di questa equazione deve essere nullo, quindi

[math]16m-8=0[/math]

[math]m=\frac{1}{2}[/math]

la retta tangente e`

[math]y=\frac{x}{2}[/math]

[robyem]

Grazie di nuovo!Ora mi è più chiaro