Interpolazione polinomiale
Ragazzi abbiate un po' di pazienza, ma tutte queste formule e formulette mi perdo. Sarei infinitamente grato se qualcuno di voi potrebbe farmi un esempio specificando tutti i passaggi per calcolare l'interpolazione polinomiale su questi dati
(0.07, 0.1),(0.09, 0.13),(0.12, 0.11)..
Grazie
(0.07, 0.1),(0.09, 0.13),(0.12, 0.11)..
Grazie
Risposte
Credo che quella che ti interessa sia la formula di Lagrange: avendo $n$ dati nella forma $(x_i,y_i)$, trovare il polinomio con $n$ coefficienti (e quindi di grado $n-1$) che li interpola.
Questo polinomio viene inizialmente scritto come la somma di $n$ addendi, ognuno dei quali ha un coefficiente incognito $a_i$ moltiplicato per tutti i possibili $(x-x_j)$ con $j!=i$. Ad esempio, per $n=3$ scriverò
$y=a_1(x-x_2)(x-x_3)+a_2(x-x_1)(x-x_3)+a_3(x-x_1)(x-x_2)$
Imponendo il passaggio per i vari punti trovo subito i coefficienti; ad esempio ricavo
$a_1=(y_1)/((x_1-x_2)(x_1-x_2))$
e simili; ho così ottenuto il polinomio.
Certamente esistono anche metodi più sofisticati che permettono di approssimare i dati con un polinomio di grado inferiore ad $n-1$; conosco però solo il metodo dei minimi quadrati, che approssima con una retta.
Quanto ai calcoli, penso proprio che spettino a te, in modo da controllare se hai capito.
Questo polinomio viene inizialmente scritto come la somma di $n$ addendi, ognuno dei quali ha un coefficiente incognito $a_i$ moltiplicato per tutti i possibili $(x-x_j)$ con $j!=i$. Ad esempio, per $n=3$ scriverò
$y=a_1(x-x_2)(x-x_3)+a_2(x-x_1)(x-x_3)+a_3(x-x_1)(x-x_2)$
Imponendo il passaggio per i vari punti trovo subito i coefficienti; ad esempio ricavo
$a_1=(y_1)/((x_1-x_2)(x_1-x_2))$
e simili; ho così ottenuto il polinomio.
Certamente esistono anche metodi più sofisticati che permettono di approssimare i dati con un polinomio di grado inferiore ad $n-1$; conosco però solo il metodo dei minimi quadrati, che approssima con una retta.
Quanto ai calcoli, penso proprio che spettino a te, in modo da controllare se hai capito.
Gentile Gianmaria, ahimè non sono più un giovincello/studente da un bel pezzo ed è meglio che non dica da quanto perché potrebbero venirmi le lacrime agli occhi... 
Attualmente mi sto avvicinando alla matematica per passione, ora che posso permettermelo. So bene che qualcuno qui può pensare di fare il furbo magari delegando ad altri lo svolgimento di calcoli più o meno complessi, ma purtroppo non è il mio caso. I dati che ho riportato sono scritti a caso che userò come esempio per calcoli futuri. Girovagando qua e là ci sono molti argomenti che trattano Lagrange e metodo dei minimi quadrati con relative formule, ma il mio problema sta proprio nel "tradurle". Nessuno finora si è preso le briga di fare un esempio molto semplice con relativi passaggi. Si dà per scontato che si conosca fin dal principio il significato di ogni variabile. Più mi inoltro nella matematica più trovo difficoltà. Ho quasi il sospetto che i concetti sono abbastanza semplici ma sono proprio il modo in cui sono scritti a renderli complessi. Per molti ciò che hai scritto può sembrare molto semplice per il fatto che hanno una mente allenata e preparata, ma per chi si avvicina per la prima volta, può risultare molto difficile capire cosa s intende per x, x2, y, a e via discorrendo... Spero che non me ne vogliate per questo mio intervento un po' fuori luogo. Sono abbastanza imbarazzato dalla situazione nel chiederti se puoi essere così gentile da mostrarmi tutti i passaggi se per te ovviamente non comporta disturbo. Grazie
Attualmente mi sto avvicinando alla matematica per passione, ora che posso permettermelo. So bene che qualcuno qui può pensare di fare il furbo magari delegando ad altri lo svolgimento di calcoli più o meno complessi, ma purtroppo non è il mio caso. I dati che ho riportato sono scritti a caso che userò come esempio per calcoli futuri. Girovagando qua e là ci sono molti argomenti che trattano Lagrange e metodo dei minimi quadrati con relative formule, ma il mio problema sta proprio nel "tradurle". Nessuno finora si è preso le briga di fare un esempio molto semplice con relativi passaggi. Si dà per scontato che si conosca fin dal principio il significato di ogni variabile. Più mi inoltro nella matematica più trovo difficoltà. Ho quasi il sospetto che i concetti sono abbastanza semplici ma sono proprio il modo in cui sono scritti a renderli complessi. Per molti ciò che hai scritto può sembrare molto semplice per il fatto che hanno una mente allenata e preparata, ma per chi si avvicina per la prima volta, può risultare molto difficile capire cosa s intende per x, x2, y, a e via discorrendo... Spero che non me ne vogliate per questo mio intervento un po' fuori luogo. Sono abbastanza imbarazzato dalla situazione nel chiederti se puoi essere così gentile da mostrarmi tutti i passaggi se per te ovviamente non comporta disturbo. Grazie
Premetto che spesso sbaglio i calcoli; considera il concetto e non i risultati. Arrotondo i risultati alla prima cifra decimale.
I tuoi dati sono
$x_1=0,07;y_1=0,1$
$x_2=0,09;y_2=0,13$
$x_3=0,12;y_3=0,11$
e quindi la formula è
$y=a_1(x-0,09)(x-0,12)+a_2(x-0,07)(x-0,12)+a_3(x-0,07)(x-0,09)$
Per $x=0,07$ si ha $y=0,1$ perciò $a_1=(0,1)/((0,07-0,09)(0,07-0,12))=(0,1)/((-0,02)(-0,05))=(0,1)/(0,001)=100$.
In modo analogo calcolo $a_2=-216,7$ e $a_3=73,3$. Il polinomio perciò diventa
$y=100(x-0,09)(x-0,12)-216,7(x-0,07)(x-0,12)+73,3(x-0,07)(x-0,09)$
e ti basta ora sostituire ad $x$ il valore voluto.
I tuoi dati sono
$x_1=0,07;y_1=0,1$
$x_2=0,09;y_2=0,13$
$x_3=0,12;y_3=0,11$
e quindi la formula è
$y=a_1(x-0,09)(x-0,12)+a_2(x-0,07)(x-0,12)+a_3(x-0,07)(x-0,09)$
Per $x=0,07$ si ha $y=0,1$ perciò $a_1=(0,1)/((0,07-0,09)(0,07-0,12))=(0,1)/((-0,02)(-0,05))=(0,1)/(0,001)=100$.
In modo analogo calcolo $a_2=-216,7$ e $a_3=73,3$. Il polinomio perciò diventa
$y=100(x-0,09)(x-0,12)-216,7(x-0,07)(x-0,12)+73,3(x-0,07)(x-0,09)$
e ti basta ora sostituire ad $x$ il valore voluto.
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