Integrazione per parti!

[AlexTracer]

Salve
i primi integrali da risolvere col metodo "per parti" e per qualche ragione manco il risultato del libro per qualche segno o coefficiente... nonostante non riesca a trovare gli errori. beh, non vi chiedo sicuramente di risolvermi gli esercizi, ma se i pezzi grossi hanno qualche suggerimento... ve ne sarei veramente grato :D

siccome non ricordo come si usa la simbolistica in questo forum.. mi arrangio

[mc2]

Nel primo integrale, quando calcoli la derivata di ln(2x) ti perdi un due a denominatore:

[math]\frac{d}{dx}\ln(2x)=\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}(2x)=\frac{1}{2x}2=\frac{1}{x}[/math]

Per cui nel calcolo dell'integrale la funzione integranda rimane 1, che integrata da` x

Nel secondo ti conviene scegliere f(x)=(1+x) ed il risultato e` immediato.

Nel terzo il risultato e` sbagliato, dovrebbe essere:

[math]\int x\ln x\,dx=\int\ln x\,d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C[/math]

In quello successivo scegli f(x)=3x+2

In quello dopo:

[math]\int xe^{-2x}d x=\int x d\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)=\dots[/math]

Ultimo: in genere si calcola usando le formule di duplicazione di trigonometria:

[math]\int\cos^2xdx=\int\frac{1+\cos 2x}{2}dx=
\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int\cos 2x dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x[/math]

E` possibile calcolarlo anche per parti (ma richiede un piccolo numero di calcolo acrobatico)

[math]\int\cos^2xdx=\int\cos x d(\sin x)=\sin x \cos x+\int \sin^2 xdx=[/math]

[math]
=\sin x \cos x+\int (1-\cos^2 x)dx=\frac{1}{2}\sin 2x +x -\int\cos^2xdx[/math]

cioe`

[math]\int\cos^2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x +x -\int\cos^2xdx[/math]

Porti a primo membro l'ultimo integrale

[math]2\int\cos^2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x +x [/math]

e dividi tutto per 2.

[AlexTracer]

Grazie infinite, il trucchetto del coseno mi sarà utile in diversi esercizi, e devo ammettere che deve esserci voluta molta pazienza per leggere la mia simbolistica fatta in casa xD
tuttavia non capisco come fai a prendere come f(x), se intregriamo un logaritmo, solamente il suo argomento. come "integrale di: ln(1+x)dx", e li separi come.fossero due fattori. Sicuramente era la difficoltà di leggere la mia scrittura, ne sono certo, oppure mi sfugge qualcosa, anche questo probabilissimo xD
grazie ancora

[mc2]

sfrutti il fatto che d(1+x)=dx ... tutto li`!

Aggiunto 16 ore 48 minuti più tardi:

Ieri ero di fretta e non ho potuto spiegare bene.

Per il secondo integrale il modo piu` rapido e` usare f(x)=(1+x):

[math]\int \ln(1+x) dx=\int \ln(1+x) d(x+1)=[/math]

[math]=(x+1)\ln(x+1)-\int(x+1)\frac{1}{x+1}dx=(x+1)\ln(x+1)-x+C[/math]

Ma se non ti piace puoi usare f(x)=x:

[math]\int \ln(1+x) dx=x\ln(x+1)-\int\frac{x}{x+1}dx=[/math]

[math]=x\ln(x+1)-\int\frac{x+1-1}{x+1}dx=x\ln(x+1)-\int dx+\int\frac{1}{x+1}dx=[/math]

[math]=x\ln(x+1)-x+\ln(x+1)+C=(x+1)\ln(x+1)-x+C[/math]

Come vedi il risultato e` giusto, ma i calcoli sono piu` lunghi

[AlexTracer]

grazie mille :D molto disponibile