Integrazione indefinita

[amarolucano]

integrale di radice (a^2 + x^2) dx.... che posso svolgerlo?

se avete qualche idea fatemelo sapere.........bye[/code]

[_Tipper]

Prova $\sqrt{a^2 + x^2} + x = t$, e per esplicitare la $x$, quindi anche per trovare il differenziale, considera che $\sqrt{a^2+x^2}=t-x$.

[amarolucano]

ehm.. aspetta non ho capito bene, se faccio la sostituzione che suggerisci nell'integrale mi rimane la x e la t...potresti rispiegarmelo?

[etec83]

magari integrando per parti diventa più lungo di quello per sostituzione....xò io l'ho risolto così:

$int_sqrt(x^2+a^2)*dx$

prendi : f'= 1 ==> f=x

e g=$sqrt(x^2+a^2)$ ===> $g'=x/sqrt(x^2+a^2)$


da cui:

$intsqrt(x^2+a^2)*dx=x*sqrt(x^2+a^2) - int(x^2/sqrt(x^2+a^2))*dx$

adesso sottrai $a^2$ e $-a^2$ all'integrale

in modo che ottieni:

$intsqrt(x^2+a^2)*dx=x*sqrt(x^2+a^2) - int((x^2+a^2-a^2)/sqrt(x^2+a^2))*dx$


ottenendo:

$intsqrt(x^2+a^2)*dx=x*sqrt(x^2+a^2) - int((x^2+a^2)/sqrt(x^2+a^2)*dx) +a^2*int(1/sqrt(x^2+a^2)*dx)$

$intsqrt(x^2+a^2)*dx=x*sqrt(x^2+a^2) - int(sqrt(x^2+a^2)*dx) +a^2*int(1/sqrt(x^2+a^2)*dx)$

porti il secondo integrale del secondo membro al primo membro:

$2*(intsqrt(x^2+a^2)*dx)=x*sqrt(x^2+a^2)+ln(x+(sqrt(x^2+a^2)))$

da cui

$intsqrt(x^2+a^2)*dx=(x*sqrt(x^2+a^2)+ln(x+(sqrt(x^2+a^2))))/2$

[_Tipper]

"amarolucano":ehm.. aspetta non ho capito bene, se faccio la sostituzione che suggerisci nell'integrale mi rimane la x e la t...potresti rispiegarmelo?

Io farei così

$t = x + \sqrt{a^2 + x^2}$

$t-x = \sqrt{a^2 + x^2}$

$t^2 - 2tx + x^2 = a^2 + x^2$

$t^2 - a^2 = 2tx$

$x = \frac{t^2 - a^2}{2t}$

di conseguenza

$\sqrt{a^2 + x^2} = t - \frac{t^2 - a^2}{2t} = \frac{t^2 + a^2}{2t}$

dato che $x = \frac{t^2 - a^2}{2t}$ allora

$dx = \frac{t^2 + a^2}{2t^2} dt$

e l'integrale diventa

$\int \frac{t^2 + a^2}{2t} \frac{t^2 + a^2}{2t^2} dt$

[amarolucano]

tipper ora svolgendo quell'integrale razionale fratto la soluzione non torna come quella proposta da etec83 che risulta corretta (concorda con il libro e con Derive)...prova a svolgerlo vediamo se a te torna...

[_Tipper]

Avrò fatto qualche errore di calcolo, non lo escludo, anzi...

[amarolucano]

no i calcoli fin lì svolti sono corretti e anche il procedimento però la soluzione è diversa

[_Tipper]

Prova a derivare la soluzione con Derive, a volte può sembrare diversa solo per la costante... Ad esempio la derivata di $\frac{1}{\cos^2(x)}$ e di $\tan^2(x)$ è la stessa...

[klarence1]

secondo me la sostituzione con t-x è la migliore

[amarolucano]

ho un problema anche per l'integrale immediato 1+(tg4x)^2 è stupito però mi sono incartato.....

[_Tipper]

$\frac{1}{4} \tan(4x)+C$