Integranda fratta sotto radice
MI potete guidare nella risoluzione di un integrale di una funziona fratta sotto radice?
Questo è l'esercizio di partenza
$ int e^x*sqrt(e^x/(1-e^x)) dx $
applicando la sostituzione e^x = t otteniamo
$ int sqrt(t/(1-t))dt $
come si procede nella risoluzione?
Questo è l'esercizio di partenza
$ int e^x*sqrt(e^x/(1-e^x)) dx $
applicando la sostituzione e^x = t otteniamo
$ int sqrt(t/(1-t))dt $
come si procede nella risoluzione?
Risposte
Ciao,e benvenuto su questo Forum!
Nel tuo integrale indefinito hai già provato a veder che succede ponendo $t=sqrt((e^x)/(1-e^x))$ e poi esplicitando la $x$ in funzione di $t$?
Provaci,che magari si fà prima col cosidetto "secondo teorema d'integrazione per sostituzione":
se hai difficoltà fà pure un fischio,nel caso.
Saluti dal web.
Nel tuo integrale indefinito hai già provato a veder che succede ponendo $t=sqrt((e^x)/(1-e^x))$ e poi esplicitando la $x$ in funzione di $t$?
Provaci,che magari si fà prima col cosidetto "secondo teorema d'integrazione per sostituzione":
se hai difficoltà fà pure un fischio,nel caso.
Saluti dal web.
facendo la sostituzione che hai suggerito non riesco a risolvere l'equazione
$ sqrt(e^x/(1-e^x)) = t $
$ e^x/(1-e^x) = t^2 $
$ ln(e^x/(1-e^x)) = ln(t^2) $
$ x-ln(1-e^x) = ln(t^2) $
$ sqrt(e^x/(1-e^x)) = t $
$ e^x/(1-e^x) = t^2 $
$ ln(e^x/(1-e^x)) = ln(t^2) $
$ x-ln(1-e^x) = ln(t^2) $
Al secondo passaggio perchè invece di applicare il logaritmo da entrambe le parti non moltiplichi entrambi i membri per $1-e^x$?
$ e^x=t^2-t^2*e^x $
$ e^x(1+t^2)=t^2 $
$ x=ln(t^2/(1+t^2)) $
$ e^x(1+t^2)=t^2 $
$ x=ln(t^2/(1+t^2)) $
O,equivalentemente,perché non osservi da subito che $(e^x)/(1-e^x)=-(1+1/(e^x-1))$ 
?
Saluti dal web.
?Saluti dal web.
se ho svolto correttamente i passaggi, dovrebbe risultare
per $ t=sqrt(e^x/(1-e^x)) $
$ e^x=t^2/(1+t^2) $
$ x=ln(t^2/(1+t^2)) $
$ dx= 2t/(t^2(t^2+1))dt $
$ int e^x*sqrt(e^x/(1-e^x))dx = 2*intt^2/(t^2+1)^2dt $
per $ t=sqrt(e^x/(1-e^x)) $
$ e^x=t^2/(1+t^2) $
$ x=ln(t^2/(1+t^2)) $
$ dx= 2t/(t^2(t^2+1))dt $
$ int e^x*sqrt(e^x/(1-e^x))dx = 2*intt^2/(t^2+1)^2dt $
Proseguendo nella risoluzione ho aggiunto e sottratto 1 al numeratore, in modo da scomporre l'integrale in due addendi (di cui uno è l'arcotangente)
Come si conclude l'esercizio?
$ 2arctg(t) -2int1/(t^2+1)^2 dt $
Come si conclude l'esercizio?
$ 2arctg(t) -2int1/(t^2+1)^2 dt $
Mah..ad occhio ci sei:
solo che per trovare la primitiva in questione non mi pare tu possa esimerti dal cercare di svolgere $int (t^2)/((t^2+1)^2) dt $ in modo "furbo"
(i.e. osservar che $"arctg"t$ è primitiva di $1/(1+t^2)$ e,al contempo,
cercare una primitiva di tale integrale procedendo per parti con un'opportuna scelta tra fattore finito e differenziale,
da uguagliare ovviamente alla precedente a meno della costante d'integrazione per poi vedere cosa è possibile tirar fuori da quell'uguaglianza ..),
o dallo svolgere l'integrale da te ben individuato in maniera ricorsiva
(se mi dici che sei un universitario ti dico va' a dare un'occhiata al paragrafo del tuo libro sugli integrali ricorsivi,
in caso contrario va' bene il precedente suggerimento tra parentesi..)!
Saluti dal web.
solo che per trovare la primitiva in questione non mi pare tu possa esimerti dal cercare di svolgere $int (t^2)/((t^2+1)^2) dt $ in modo "furbo"
(i.e. osservar che $"arctg"t$ è primitiva di $1/(1+t^2)$ e,al contempo,
cercare una primitiva di tale integrale procedendo per parti con un'opportuna scelta tra fattore finito e differenziale,
da uguagliare ovviamente alla precedente a meno della costante d'integrazione per poi vedere cosa è possibile tirar fuori da quell'uguaglianza
..),o dallo svolgere l'integrale da te ben individuato in maniera ricorsiva
(se mi dici che sei un universitario ti dico va' a dare un'occhiata al paragrafo del tuo libro sugli integrali ricorsivi,
in caso contrario va' bene il precedente suggerimento tra parentesi..)!
Saluti dal web.
non credo di aver capito bene il tuo suggerimento, ho provato a fare per parti ma non ottengo risultati
puoi illustrarmi entrambi i metodi? (per parti e ricorsivamente)
per parti posso anche farlo io senza problemi, mi basta che mi indichi quello che secondo te è il fattore finito e quello differenziale
puoi illustrarmi entrambi i metodi? (per parti e ricorsivamente)
per parti posso anche farlo io senza problemi, mi basta che mi indichi quello che secondo te è il fattore finito e quello differenziale
Osserva che $"arctg" t +k=int 1/(t^2+1) dt=t/(t^2+1)-int (-2t)/((t^2+1)^2)*t dt$
(quì ho chiaramente considerato $f(t)=1/(t^2+1)$ fattore finito e $g'(t)=1$ fattore differenziale della mia integrazione per parti di $1/(t^2+1)$..):
da ciò dovresti poter concludere quanto t'interessa .
Saluti dal web.
P.S.L'altro metodo è,nel caso specifico,praticamente analogo;
ha il vantaggio,nel caso generale,di permettere d'esprimere,$AAn in NN$,
$I_n=int 1/((1+t^2)^n) dt $ in funzione di $n$ ed $I_(n-1)$
(ed a forza di "scendere" arrivare dunque al noto $I_1=I_(2-1)=..="arctg" t$ ..):
se t'incuriosisce cerca nel Forum con le parole chiave "integrale ricorsivo di $1/((1+t^2)^n)$,che qualcosa dovresti trovare!
(quì ho chiaramente considerato $f(t)=1/(t^2+1)$ fattore finito e $g'(t)=1$ fattore differenziale della mia integrazione per parti di $1/(t^2+1)$..):
da ciò dovresti poter concludere quanto t'interessa
.Saluti dal web.
P.S.L'altro metodo è,nel caso specifico,praticamente analogo;
ha il vantaggio,nel caso generale,di permettere d'esprimere,$AAn in NN$,
$I_n=int 1/((1+t^2)^n) dt $ in funzione di $n$ ed $I_(n-1)$
(ed a forza di "scendere" arrivare dunque al noto $I_1=I_(2-1)=..="arctg" t$ ..):
se t'incuriosisce cerca nel Forum con le parole chiave "integrale ricorsivo di $1/((1+t^2)^n)$,che qualcosa dovresti trovare!
ok ma la mia integranda è il quadrato di quel f(t) che hai scritto tu
è una svista oppure mi sfugge qualcosa?
è una svista oppure mi sfugge qualcosa?
Il metodo ricorsivo l'ho trovato
Comunque, capisco che probabilmente sei stato anche molto chiaro, ma il tuo suggerimento per parti non lo comprendo proprio (cioè logicamente l'ho capito, ma non mi è chiaro come si deve applicare visto che la mia f(t) è il quadrato di quella che hai scritto tu)
Potresti farmi vedere chiaramente i passaggi?
Se ho svolto bene il metodo ricorsivo, il risultato finale dovrebbe essere
$ 2arctg(t) -2int1/(t^2+1)^2 dt = $$ arctg(t) -t/(t^2+1) +c $
Comunque, capisco che probabilmente sei stato anche molto chiaro, ma il tuo suggerimento per parti non lo comprendo proprio (cioè logicamente l'ho capito, ma non mi è chiaro come si deve applicare visto che la mia f(t) è il quadrato di quella che hai scritto tu)
Potresti farmi vedere chiaramente i passaggi?
Se ho svolto bene il metodo ricorsivo, il risultato finale dovrebbe essere
$ 2arctg(t) -2int1/(t^2+1)^2 dt = $$ arctg(t) -t/(t^2+1) +c $
Dalla prima riga del mio post precedente(sei d'accordo sul procedimento per parti che ho usato lì?),
deduci,con piccolo e comune abuso di linguaggio,che si ha $"arctg"t+k=t/(t^2+1)+ 2*int (t^2)/((t^2+1)^2) dt$:
a questo punto non dovrebbe esserti difficile dedurre(*) quanto ti serve per aver conferma di quanto hai trovato per
altra via !
Saluti dal web.
(*)Anche lì commeteresti un piccolo abuso:
ma non cambierebbe la sostanza di quanto otteresti lavorando in modo più formale,ed allora compilo pure !
deduci,con piccolo e comune abuso di linguaggio,che si ha $"arctg"t+k=t/(t^2+1)+ 2*int (t^2)/((t^2+1)^2) dt$:
a questo punto non dovrebbe esserti difficile dedurre(*) quanto ti serve per aver conferma di quanto hai trovato per
altra via
!Saluti dal web.
(*)Anche lì commeteresti un piccolo abuso:
ma non cambierebbe la sostanza di quanto otteresti lavorando in modo più formale,ed allora compilo pure
!
nel secondo membro, all'interno dell'integrale, il numeratore prima hai scritto che è t , mentre dopo che è t^2
edit
ah scusa, non avevo proprio notato il t*dt ... era quasi occultato
senti ma in linea generale come ci si arriva a certe osservazioni?
cioè, ok che la mia integranda era molto simile all'arcotangente, ma non mi è mai capitato di risolvere un esercizio usando il risultato di un altro
edit
ah scusa, non avevo proprio notato il t*dt ... era quasi occultato
senti ma in linea generale come ci si arriva a certe osservazioni?
cioè, ok che la mia integranda era molto simile all'arcotangente, ma non mi è mai capitato di risolvere un esercizio usando il risultato di un altro
[ot]
Ho voluto rendere carina una frase antipatica:
non si può rendere algoritmico l'istinto,ma ci si può solo limitare ad affinarlo e farlo crescere in continuazione..
Saluti dal web.
[/ot]
:Ho voluto rendere carina una frase antipatica:
non si può rendere algoritmico l'istinto,ma ci si può solo limitare ad affinarlo e farlo crescere in continuazione..
Saluti dal web.
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