Integrali trigonometrici , sostituzioni t=??
Qualcuno ,potrebbe spiegarmi per quale motovo si sceglie una sostituzione piuttosto che un’altra , negli integrali trigonometrici?
Per esempio se ho la funzione integrale $2/(1+tgx)^2dx$ pongo tgx=t . In alcuni esercizi svolti ho visto che t viene sostituito anche con $t= tg(x/2)$.
L’altro integrale $1/(4sinx+3cosx)$ pone $t=x/2$ , perché non $sinx=t$ o $cosx=t$ ?
esempio integrale $(cosx-3)/(sin^2x-cos^3x+1)$ il libo sostituisce $t=cosx$ posso scegliere $t=sinx$? In qali casi si pone $t=x/2$? Se non si é capito , non é chiaro quale criterio devo scegliere per una sostituzione invece dell’altra
? c’é una regola da seguire ? Il mio libro fa vedere solo 2 esercizi svolti e non capisco.
Grazie a chi ha voglia di spiegarmi .
Saluti
Ben
Per esempio se ho la funzione integrale $2/(1+tgx)^2dx$ pongo tgx=t . In alcuni esercizi svolti ho visto che t viene sostituito anche con $t= tg(x/2)$.
L’altro integrale $1/(4sinx+3cosx)$ pone $t=x/2$ , perché non $sinx=t$ o $cosx=t$ ?
esempio integrale $(cosx-3)/(sin^2x-cos^3x+1)$ il libo sostituisce $t=cosx$ posso scegliere $t=sinx$? In qali casi si pone $t=x/2$? Se non si é capito , non é chiaro quale criterio devo scegliere per una sostituzione invece dell’altra
? c’é una regola da seguire ? Il mio libro fa vedere solo 2 esercizi svolti e non capisco. Grazie a chi ha voglia di spiegarmi .
Saluti
Ben
Risposte
Due casi particolari sono quando hai un seno o un coseno al denominatore, ad esempio $\frac{1}{\cos(x)}$ o $\frac{1}{\sin(x)}$.
In questi casi conviene considerare le formule parametriche, secondo cui $\sin(x)=\frac{2 "tg"(\frac{x}{2})}{1+"tg"^2(\frac{x}{2})}$ e $\cos(x)=\frac{1-"tg"^2(\frac{x}{2})}{1+"tg"^2(\frac{x}{2})}$.
In entrambi i casi conviene fare la sostituzione $t="tg"(\frac{x}{2})$, dal momento che $dt=\frac{1}{2} (1+"tg"^2(\frac{x}{2}))$.
Un altro caso può essere quando hai $\int \sqrt{a^2 - x^2}dx$; ponendo $x=a \sin(t)$, si ottiene $dx=a \cos(t)dt$ e l'integrale diventa:
$\int \sqrt{a^2(1-\sin^2(t))} a \cos(t) dt = a |a| \int \cos(t) |\cos(t)| dt$.
In questi casi conviene considerare le formule parametriche, secondo cui $\sin(x)=\frac{2 "tg"(\frac{x}{2})}{1+"tg"^2(\frac{x}{2})}$ e $\cos(x)=\frac{1-"tg"^2(\frac{x}{2})}{1+"tg"^2(\frac{x}{2})}$.
In entrambi i casi conviene fare la sostituzione $t="tg"(\frac{x}{2})$, dal momento che $dt=\frac{1}{2} (1+"tg"^2(\frac{x}{2}))$.
Un altro caso può essere quando hai $\int \sqrt{a^2 - x^2}dx$; ponendo $x=a \sin(t)$, si ottiene $dx=a \cos(t)dt$ e l'integrale diventa:
$\int \sqrt{a^2(1-\sin^2(t))} a \cos(t) dt = a |a| \int \cos(t) |\cos(t)| dt$.
Grazie Tipper
Stando a quello che dici allora per $(cosx-3)/(sin^2x-cos^3x+1)*sinxdx$ sarebbe stato meglio porre $t=x/2$ invece di $t=cosx$, visto che a denominatore
ho sinx e cosx. giusto?
Stando a quello che dici allora per $(cosx-3)/(sin^2x-cos^3x+1)*sinxdx$ sarebbe stato meglio porre $t=x/2$ invece di $t=cosx$, visto che a denominatore
ho sinx e cosx. giusto?
No, conviene porre $t=\cos(x)$, infatti il $\sin(x)dx$ diventa $-dt$, il $\sin^2(x)$ al denominatore puoi scriverlo in funzione di un coseno, e tutta la funzione diventa un rapporto di polinomi.
"Tipper":
No, conviene porre $t=\cos(x)$, infatti il $\sin(x)dx$ diventa $-dt$, il $\sin^2(x)$ al denominatore puoi scriverlo in funzione di un coseno, e tutta la funzione diventa un rapporto di polinomi.
L'ultima cosa... ma posto $t=cosx$ non dovrei esplicitare $x = arcos(t)$ e $dx = -1/sqrt(1-t^2)dt$ ?
fai $sin(x)dx=-dt$ perché $sinx$ moltiplica la frazione ?
Se espliciti la $x$ viene un casino... Dato che in questo caso $\sin(x)dx=-dt$, e dato che c'è effettivamente nell'integranda un $\sin(x)dx$ (appunto perché $\sin(x)$ moltiplica la frazione) conviene agire in questo modo.
Ricorda che porre $ t = tg(x/2)$ , permette di esprimere le funzioni trigonometriche $sinx, cosx,tgx $ come espresssioni razionali di $t $ ; inoltre, essendo di conseguenza $ x=2*arctg x $ si ha che pure $dx = dt/(1+t^2) $ è ancora una funzione razionale di $t $ e quindi una espressione (razionale) in $sinx, cosx, tg x$ si trasforma in una espressione razionale in $t$ e quidni facilmente integrabile.
grazie ragazzi, sto facendo qualche esercizio e sembra che i conti tornano 
ben per te se tornano 
AHAHAH
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