Integrali - superficie di un solido
Ciao a tutti stavo leggendo il seguente problema che poi ho risolto:
Determinare la superficie esterna del corno avente equazione $y=1/x | 1 <= x <= +oo$ attraverso una rotazione sull'asse $x$
in pratica si vuole sapere la superficie esterna senza tener conto delle basi del corno (i 2 cerchi).
bene... avrei da fare alcune osservazioni (andare un po piu a fondo insomma) sul metodo risolutivo.
L'idea e' quella di far ruotare un cerchio ricavandone la sua circonferenza di raggio $f(x)$ per poi moltiplicarlo per un pezzettino della curva della funzione $f(x)$. questo pezzettino lo chiamo $ds$. In questa maniera ottengo una sorta di superficie laterale di un tronco di cono, il tutto ovviamente in $dx$ cosicchè la somma di tutti questi tronchettini di cono mi genera la superficie del solido voluto.
l'integrale e' presto fatto:
$a=+oo$
$2pi int_(1)^(a) |f(x)|*sqrt(1+(f'(x))^2)$
di cui
il raggio è = $|f(x)|$
il $ds$ è $sqrt(1+(f'(x))^2$
a questo punto vorrei fare un passo indietro per ragionare su questo integrale, nello specifico a come si e' ottenuto cosi posso formulare la mia domanda.
la prima cosa che sono andato a cercare e' l'area esterna di un tronco di cono, che e' la seguente:
$sl=pi(r+R)a$
dove $a$ è la lunghezza del lato obliquo del nostro tronco di cono che non è nient'altro che il $ds$ cioe la lunghezza del pezzettino della curva.
quindi:
$sl=pi(r+R)ds$
adesso praticamente risolvendo $sl$
si ottiene $sl=2rpi*ds$
quindi
$sl=2pi|f(x)|*ds$
e da qui si ottiene l'integrale sopra citato.
ma la mia domanda è:
il $2r$ significa $r+r$ quindi i 2 raggi (minore e maggiore) sono stati considerati uguali, perche?
forse perche se si ragione in pezzettini infinitesimi piccoli (cioe il nostro $ds$ essendo ultra piccolo) la differenza dei 2 raggi e' cosi trascurabile che posso dire che in questo contesto sono uguali giusto?
ma quindi se i raggi sono uguali in realta il nostro tronco di cono se e' ultra piccolo diventa un cilindro giusto?
perche solo il cilindro possiede 2 raggi uguali...
e quindi il nostro ds non e' piu un lato obliquo ma bensi' un lato completamente diritto (che sarebbe l'altezza del cilindro no?).
infatti se si osserva l'integrale quello che facciamo e' $f(x)$ ossia il raggio per $2pi$ e otteniamo la circonferenza
per $ds$ che e' l'altezza ... e da qua otteniamo la superficie.
se la figura non fosse un cilindro il $2$ non ci sarebbe... perche deriva da $2r$
quindi domanda:
e' corretto quello che sto dicendo?
cioe che in termini infinitamente piccoli in realta quello che otteniamo e' un mini cilindro di cui calcoliamo la sua superficie laterale e non piu quindi un tronco di cono?
grazie
Determinare la superficie esterna del corno avente equazione $y=1/x | 1 <= x <= +oo$ attraverso una rotazione sull'asse $x$
in pratica si vuole sapere la superficie esterna senza tener conto delle basi del corno (i 2 cerchi).
bene... avrei da fare alcune osservazioni (andare un po piu a fondo insomma) sul metodo risolutivo.
L'idea e' quella di far ruotare un cerchio ricavandone la sua circonferenza di raggio $f(x)$ per poi moltiplicarlo per un pezzettino della curva della funzione $f(x)$. questo pezzettino lo chiamo $ds$. In questa maniera ottengo una sorta di superficie laterale di un tronco di cono, il tutto ovviamente in $dx$ cosicchè la somma di tutti questi tronchettini di cono mi genera la superficie del solido voluto.
l'integrale e' presto fatto:
$a=+oo$
$2pi int_(1)^(a) |f(x)|*sqrt(1+(f'(x))^2)$
di cui
il raggio è = $|f(x)|$
il $ds$ è $sqrt(1+(f'(x))^2$
a questo punto vorrei fare un passo indietro per ragionare su questo integrale, nello specifico a come si e' ottenuto cosi posso formulare la mia domanda.
la prima cosa che sono andato a cercare e' l'area esterna di un tronco di cono, che e' la seguente:
$sl=pi(r+R)a$
dove $a$ è la lunghezza del lato obliquo del nostro tronco di cono che non è nient'altro che il $ds$ cioe la lunghezza del pezzettino della curva.
quindi:
$sl=pi(r+R)ds$
adesso praticamente risolvendo $sl$
si ottiene $sl=2rpi*ds$
quindi
$sl=2pi|f(x)|*ds$
e da qui si ottiene l'integrale sopra citato.
ma la mia domanda è:
il $2r$ significa $r+r$ quindi i 2 raggi (minore e maggiore) sono stati considerati uguali, perche?
forse perche se si ragione in pezzettini infinitesimi piccoli (cioe il nostro $ds$ essendo ultra piccolo) la differenza dei 2 raggi e' cosi trascurabile che posso dire che in questo contesto sono uguali giusto?
ma quindi se i raggi sono uguali in realta il nostro tronco di cono se e' ultra piccolo diventa un cilindro giusto?
perche solo il cilindro possiede 2 raggi uguali...
e quindi il nostro ds non e' piu un lato obliquo ma bensi' un lato completamente diritto (che sarebbe l'altezza del cilindro no?).
infatti se si osserva l'integrale quello che facciamo e' $f(x)$ ossia il raggio per $2pi$ e otteniamo la circonferenza
per $ds$ che e' l'altezza ... e da qua otteniamo la superficie.
se la figura non fosse un cilindro il $2$ non ci sarebbe... perche deriva da $2r$
quindi domanda:
e' corretto quello che sto dicendo?
cioe che in termini infinitamente piccoli in realta quello che otteniamo e' un mini cilindro di cui calcoliamo la sua superficie laterale e non piu quindi un tronco di cono?
grazie
Risposte
Per quanto riguarda il $ds$ devi pensare al tronco di cono. Per i raggi, considerando per semplicità $f(x)>=0$ si ha
$r=f(x)$
$R=f(x)+df(x)=f(x)+f'(x)dx$
e quindi
$s_l=pi[2f(x)+f'(x)dx]*sqrt(1+(f'(x))^2)dx=pi*2f(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx$
avendo trascurato il termine con $(dx)^2$, che è un infinitesimo di ordine superiore.
Se pensassimo a mini-cilindri anche per il $ds$ otterremmo un risultato sbagliato: controlla con la superficie di una sfera.
$r=f(x)$
$R=f(x)+df(x)=f(x)+f'(x)dx$
e quindi
$s_l=pi[2f(x)+f'(x)dx]*sqrt(1+(f'(x))^2)dx=pi*2f(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx$
avendo trascurato il termine con $(dx)^2$, che è un infinitesimo di ordine superiore.
Se pensassimo a mini-cilindri anche per il $ds$ otterremmo un risultato sbagliato: controlla con la superficie di una sfera.
ma allora com'e' possibile se rimane un tronco di cono che la sua superficie laterale e'
$2r*pi*ds$
cioe il $2r$ implica che raggio minore e raggio maggiore siano uguali o no?
poi non ho capito perche hai definito il raggio maggiore in questo modo:
$f(x)+f'(x)$
cioe raggio minore + la derivata, perche? non riesco a capire ...
e infine perche hai scritto che $2f(x)+f'(x)=2f(x)$ ?
grazie...
scusami ma non mi piace sapere il metodo risolutivo senza capire che cosa ci sia dietro davvero, vorrei convincermi.
grazie
$2r*pi*ds$
cioe il $2r$ implica che raggio minore e raggio maggiore siano uguali o no?
poi non ho capito perche hai definito il raggio maggiore in questo modo:
$f(x)+f'(x)$
cioe raggio minore + la derivata, perche? non riesco a capire ...
e infine perche hai scritto che $2f(x)+f'(x)=2f(x)$ ?
grazie...
scusami ma non mi piace sapere il metodo risolutivo senza capire che cosa ci sia dietro davvero, vorrei convincermi.
grazie
"giogiomogio":
ma allora com'e' possibile se rimane un tronco di cono che la sua superficie laterale e'
$2r*pi*ds$
cioe il $2r$ implica che raggio minore e raggio maggiore siano uguali o no?
Non sono uguali, ma differiscono di molto poco. Se dovessi sottrarli, quel "molto poco" diventerebbe importante, ma se li sommo è trascurabile. Vediamo un esempio numerico: se $r=13,0000$ e $ R=13,0002$, allora
$R-r=0,0002$ e la differenza fra $r,R$ è importante, mentre
$R+r=13,0002+13,0000~26=2r$ e qui il fatto che differissero è trascurabile. Questo vale a maggior ragione quando $R-r$ tende a zero, cioè nel nostro caso.
poi non ho capito perche hai definito il raggio maggiore in questo modo:
$f(x)+f'(x)$
Hai dimenticato un importantissimo $dx$: io ho scritto $R=f(x)+f'(x)dx$, derivante da $R=f(x+dx)$.
Se hai studiato un po' bene il concetto di differenziale, questa formula dovrebbe esserti nota; te ne do una spiegazione non del tutto rigorosa. La definizione di derivata è $f'(x)=lim_(Deltax->0)(f(x+Delta x)-f(x))/(Delta x)$; fare ovunque la sostituzione di $dx$ al posto di $Delta x$ equivale in sostanza a passare al limite. Quindi
$f'(x)=(f(x+dx)-f(x))/(dx)$
e, dando denominatore comune, $f'(x)dx=f(x+dx)-f(x)->f(x+dx)=f(x)+f'(x)dx$
e infine perche hai scritto che $2f(x)+f'(x)=2f(x)$ ?
Ho $r=f(x), R=f(x)+f'(x)dx$ quindi
$r+R=f(x)+f(x)+f'(x)dx=2f(x)+f'(x)dx$
Inoltre non ho scritto quello; se fai i calcoli trovi
$"formula scritta"+"qualcosa"*(dx)^2$
ed ho trascurato l'ultimo addendo per la presenza di $(dx)^2$.
Ti avevo suggerito l'esempio della superficie di una sfera, ma questo è più facile e più convincente: calcolare la superficie laterale del cono generato in una rotazione attorno all'asse $x$ del triangolo di vertici $O(0,0), A(a,0),B(a,a)$. Ti basta un'occhiata alla figura per dire che $ds=sqrt2dx$ e che quindi sbaglieremmo pensando ad un cilindro; invece in ogni singolo intervallino il valore di $y$ cambia molto poco e quindi possiamo prendere $R+r=2y$.
grazie giammaria per la tua spiegazione ma penso di essermi espresso male.
So bene che cosa sia il concetto di derivata, in sostanza è $dy/dx$. Ma ti ringrazio comunque per avermi rinfrescato la memoria attraverso il concetto di limite, perche alla fine parte tutto da li. parte tutto da un limite anche per il concetto del $ds$ chiaramente. da un $dy$ e un $dx$ e dal teorema di pitagora.
se provo a prendere la funzione $y=1/x$ e la faccio ruotare sull'asse $x$ ottengo un corno giusto? se adesso (immaginando di avere la funzione gia ruotata) scelgo un punto sull asse delle $x$ e ci tiro una riga perpendicolare all'asse e poi scelgo un altro punto ancora $x+1$ e faccio la medesima cosa, si vede chiaramente (fra le 2 righe) il tronco di cono, vero?
se adesso immagino a quanto mi hai detto, $R$ e' semplicemente $f(x)$ cioe l'immagine ... $y$ in sostanza.
mentre $r$ sara' $f(x) - $ qualcosa.
possibile che in questo caso sia proprio meno $f(x -dx)$ ?
poi volevo chiederti un'altra cosa se posso...
non potrei risolvere il problema facendo semplicemente $2pi int_(a)^(b) f(x) dx $ ?
ossia una somma di superfici ottenute da una circonferenza moltiplicata per $dx$ che mi genera comunque una superficie laterale vero?
pero' forse in questo caso di un cilindro possibile?
grazie
So bene che cosa sia il concetto di derivata, in sostanza è $dy/dx$. Ma ti ringrazio comunque per avermi rinfrescato la memoria attraverso il concetto di limite, perche alla fine parte tutto da li. parte tutto da un limite anche per il concetto del $ds$ chiaramente. da un $dy$ e un $dx$ e dal teorema di pitagora.
se provo a prendere la funzione $y=1/x$ e la faccio ruotare sull'asse $x$ ottengo un corno giusto? se adesso (immaginando di avere la funzione gia ruotata) scelgo un punto sull asse delle $x$ e ci tiro una riga perpendicolare all'asse e poi scelgo un altro punto ancora $x+1$ e faccio la medesima cosa, si vede chiaramente (fra le 2 righe) il tronco di cono, vero?
se adesso immagino a quanto mi hai detto, $R$ e' semplicemente $f(x)$ cioe l'immagine ... $y$ in sostanza.
mentre $r$ sara' $f(x) - $ qualcosa.
possibile che in questo caso sia proprio meno $f(x -dx)$ ?
poi volevo chiederti un'altra cosa se posso...
non potrei risolvere il problema facendo semplicemente $2pi int_(a)^(b) f(x) dx $ ?
ossia una somma di superfici ottenute da una circonferenza moltiplicata per $dx$ che mi genera comunque una superficie laterale vero?
pero' forse in questo caso di un cilindro possibile?
grazie
"giogiomogio":
non potrei risolvere il problema facendo semplicemente $2pi int_(a)^(b) f(x) dx $ ?
La risposta più convincente mi sembra: proviamo con un esempio facile e vediamo se ci viene il giusto risultato. L'esempio che scelgo è la rotazione attorno all'asse $x$ del triangolo di vertici $O(0,0),A(r,0),B(r,r)$.
Cominciamo con la geometria: otteniamo un cono di raggio $r$ ed apotema $a=OB=rsqrt2$; la sua superficie laterale è quindi $S_l=pi ra=pir^2sqrt2$.
Ora passiamo all'analisi: la curva che ruota è la retta $OB$, di equazione $y=f(x)=x$.
Con la tua formula:
$S_l=2pi intxdx=2pi[x^2/2]_0^r=pir^2$ SBAGLIATO
Con la formula del libro, essendo $f'(x)=1$,
$S_l=2pi intxsqrt(1+1^2)dx=2pi sqrt2[x^2/2]_0^r=pi r^2sqrt2$ GIUSTO
grazie giammaria, ero convinto che anche in quel modo potesse andar bene perche dopotutto sto sommando delle mini superfici ma di cilindri quindi ottengo ogni volta una superficie piu piccola perche moltiplico la circonferenza per $dx$ che e' una linea perpendicolare alla circonferenza, mentre con il $ds$ moltiplico per $dx$ ma il $ds$ segue la curva della funzione, quindi non perdo superficie.
poi ho capito un'altra cosa riguardo il problema di prima...
quando ti chiedevo ma perche $2r$ allora è un cilindro sbagliavo perche ero convinto che $f(x)$ cadesse all'inizio del $ds$ invece cade proprio a meta' del $ds$ e quindi anche del $dx$ quindi facendo $2r$ ottengo proprio la somma di $r+R$ perche $f(x)$ e' proprio in mezzo al $ds$ e $dx$
giusto?
poi ho capito un'altra cosa riguardo il problema di prima...
quando ti chiedevo ma perche $2r$ allora è un cilindro sbagliavo perche ero convinto che $f(x)$ cadesse all'inizio del $ds$ invece cade proprio a meta' del $ds$ e quindi anche del $dx$ quindi facendo $2r$ ottengo proprio la somma di $r+R$ perche $f(x)$ e' proprio in mezzo al $ds$ e $dx$
giusto?
Sì, lo puoi vedere anche così. E' più abituale pensare che sia $r=f(x), R=f(x+dx)$, ma negli integrali si può prendere un qualsiasi punto negli intervalli elementari e quindi i due ragionamenti conducono alla stessa conclusione.
perfetto grazie... c ho sbattuto la testa finche non ci sono arrivato 
odio fare una cosa senza essere al 100% convinto della logica che c'è dietro... anche perche cosi devo studiare molto meno 
e riguardo all'integrale $2pi int_(a)^(b) f(x) dx$ è giusto quello che ho detto? cioe che stavo sommando dei mini cilindri di altezza $dx$ che mi portavano ad una superficie piu piccola ma anche piu grande (a dipendenza della curva) di quella che si otterrebbe utilizzando il $ds$ ?
grazie
odio fare una cosa senza essere al 100% convinto della logica che c'è dietro... anche perche cosi devo studiare molto meno e riguardo all'integrale $2pi int_(a)^(b) f(x) dx$ è giusto quello che ho detto? cioe che stavo sommando dei mini cilindri di altezza $dx$ che mi portavano ad una superficie piu piccola ma anche piu grande (a dipendenza della curva) di quella che si otterrebbe utilizzando il $ds$ ?
grazie
Quasi giusto: stavi sommando dei mini-cilindri di altezza $dx$ che portavano sempre ad una superficie più piccola (o al più uguale), qualunque sia la curva. Infatti $ds$ è l'ipotenusa di una triangolo in cui un cateto è $dx$ e quindi si ha sempre $ds>=dx$.
perfetto grazie mille giammaria,
soprattutto per la pazienza
soprattutto per la pazienza
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