Integrali: metodo della sostituzione
Salve,
volevo mettere a punto alcuni dubbi che mi sono sorti circa il metodo di sostituzione degli integrali.
Ho cercato di riassumere i casi in cui, dato un integrale, lo si può/deve risolvere con questa tecnica.
1) Quando compare più volte una funzione elevata a diversi gradi
2) Quando appaiono radici (di indice diverso) di una stessa funzione
3) Quando l'integranda presenta una funzione composta
4) Quando sono presenti funzioni trigonometriche.
Ecco, su quest'ultimo punto ho dei dubbi: direi che il metodo più meccanico è quello che prevede l'utilizzo delle formule parametriche di trigonometria. Però, facendo degli esercizi, mi sono accorto che queste non vanno sempre bene, poiché talvolta conducono ad uno o più integrali decisamente più complessi di quello di partenza. Quindi ho notato che in questi casi la sostituzione viene fatta più alla random, cioè a seconda dei casi si sostituisce ciò che più "conviene"; non capisco però se si segua un criterio oppure si vada letteralmente per tentativi. Prendiamo subito un esempio:
$int(tan((4x)/3))/(cos^2((4x)/3))dx$
Qui le formule parametriche non funzionano. Voi cosa fareste? Si sostituisce il seno, il coseno o la tangente? Come valutate la vostra scelta? (Scegliendo il coseno, dopo vari calcoli si capisce che andava bene...).
Ci sono altri casi particolari come questo?
Per esempio questo
$intsin^3xdx$
va lavorato un po', usando l'integrazione per parti "inversa".
Dunque capite che sto cercando tutti i casi "particolari" entro questa tecnica per potermi gestire quando trovo esercizi simili, riconducendomi a questi esempi standard. Se ne avete altri, esponeteli. Grazie
volevo mettere a punto alcuni dubbi che mi sono sorti circa il metodo di sostituzione degli integrali.
Ho cercato di riassumere i casi in cui, dato un integrale, lo si può/deve risolvere con questa tecnica.
1) Quando compare più volte una funzione elevata a diversi gradi
2) Quando appaiono radici (di indice diverso) di una stessa funzione
3) Quando l'integranda presenta una funzione composta
4) Quando sono presenti funzioni trigonometriche.
Ecco, su quest'ultimo punto ho dei dubbi: direi che il metodo più meccanico è quello che prevede l'utilizzo delle formule parametriche di trigonometria. Però, facendo degli esercizi, mi sono accorto che queste non vanno sempre bene, poiché talvolta conducono ad uno o più integrali decisamente più complessi di quello di partenza. Quindi ho notato che in questi casi la sostituzione viene fatta più alla random, cioè a seconda dei casi si sostituisce ciò che più "conviene"; non capisco però se si segua un criterio oppure si vada letteralmente per tentativi. Prendiamo subito un esempio:
$int(tan((4x)/3))/(cos^2((4x)/3))dx$
Qui le formule parametriche non funzionano. Voi cosa fareste? Si sostituisce il seno, il coseno o la tangente? Come valutate la vostra scelta? (Scegliendo il coseno, dopo vari calcoli si capisce che andava bene...).
Ci sono altri casi particolari come questo?
Per esempio questo
$intsin^3xdx$
va lavorato un po', usando l'integrazione per parti "inversa".
Dunque capite che sto cercando tutti i casi "particolari" entro questa tecnica per potermi gestire quando trovo esercizi simili, riconducendomi a questi esempi standard. Se ne avete altri, esponeteli. Grazie
Risposte
Inizio con $int(tan((4x)/3))/(cos^2((4x)/3))dx$, per prima cosa trasformo la tangente in seno fratto coseno e ottengo
$int(sin((4x)/3))/(cos^3((4x)/3))dx$ qui è chiaro che dovo sostituire il coseno perché a numeratore mi trovo la sua derivata a meno di un fattore che è una costante.
Questo $intsin^3xdx$ è anche più semplice, rientra nella categoria $intsin^nxcos^m xdx$
in questi casi
- se almeno un esponente tra $n$ ed $m$ è dispari, va sostituita l'altra funzione
- se sono entrambi dispari scegli quella che vuoi
- se sono entrambi pari usi le trasformazioni inverse della duplicazione in modo da dimezzare l'esponente (raddoppiando l'angolo), se necessario anche più volte, fino ad ottenere un esponente dispari
Riprendo l'esercizio $intsin^3xdx$, in questo caso $n=3$ e $ m=0$, quindi devo sostituire il coseno, devo quindi lavorare per mettere in evidenza il coseno:
$intsin^3xdx = intsinx*sin^2xdx = intsinx*(1-cos^2 x)dx$ posto $cosx=t$ calcolando il differenziale si ottiene $-sin x dx=dt$, sostituendo nell'integrale
$intsinx*(1-cos^2 x)dx= - int(1-t^2)dt$ che adesso è immediato.
$int(sin((4x)/3))/(cos^3((4x)/3))dx$ qui è chiaro che dovo sostituire il coseno perché a numeratore mi trovo la sua derivata a meno di un fattore che è una costante.
Questo $intsin^3xdx$ è anche più semplice, rientra nella categoria $intsin^nxcos^m xdx$
in questi casi
- se almeno un esponente tra $n$ ed $m$ è dispari, va sostituita l'altra funzione
- se sono entrambi dispari scegli quella che vuoi
- se sono entrambi pari usi le trasformazioni inverse della duplicazione in modo da dimezzare l'esponente (raddoppiando l'angolo), se necessario anche più volte, fino ad ottenere un esponente dispari
Riprendo l'esercizio $intsin^3xdx$, in questo caso $n=3$ e $ m=0$, quindi devo sostituire il coseno, devo quindi lavorare per mettere in evidenza il coseno:
$intsin^3xdx = intsinx*sin^2xdx = intsinx*(1-cos^2 x)dx$ posto $cosx=t$ calcolando il differenziale si ottiene $-sin x dx=dt$, sostituendo nell'integrale
$intsinx*(1-cos^2 x)dx= - int(1-t^2)dt$ che adesso è immediato.
Ok per il secondo
Non ho capito però il primo... in che senso a meno di una costante? Potresti farmi vedere come fai a risolverlo ... Grazie
Ps. Se poi trovo altri casi "strani" (per me almeno) li posto qui e li discutiamo
Non ho capito però il primo... in che senso a meno di una costante? Potresti farmi vedere come fai a risolverlo ... Grazie
Ps. Se poi trovo altri casi "strani" (per me almeno) li posto qui e li discutiamo
La derivata di $cos ((4x)/3)$ è $D(cos ((4x)/3))= -4/3 sin ((4x)/3) $, quindi, posto $cos ((4x)/3) = t$, facendo il differenziale ottieni $ -4/3 sin ((4x)/3) dx =dt$, questo lo trovi nell'integrale a meno del fattore costante $-4/3$, che va portato a secondo membro $ sin ((4x)/3) dx = -3/4 dt$. Adesso si può sostituire dentro all'integrale:
$int(sin((4x)/3))/(cos^3((4x)/3))dx = int (-3/4)/t^3dt = -3/4 int t^(-3) dt=...$
$int(sin((4x)/3))/(cos^3((4x)/3))dx = int (-3/4)/t^3dt = -3/4 int t^(-3) dt=...$
Scusate l'intromissione, però qui addirittura si poteva sostituire dall'inizio...
$tan(4/3x)=t rarr 1/(cos^2(4/3x)) 4/3 dx = dt$
Quindi l'integrale diventa $3/4 int t dt$
$tan(4/3x)=t rarr 1/(cos^2(4/3x)) 4/3 dx = dt$
Quindi l'integrale diventa $3/4 int t dt$
Hai ragione.
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