Integrali indefiniti: HELP!!!!!!!

[BlackAngel]

Ciao a tutti.
martedì devo fare l' ULTIMO compito di matematica e mi sto esercitando molto: ora ho provato a fare questi esercizi ma non riesco a risolverli, potreste aiutarmi spiegando bene tutti i procedimenti??

[math]\int{\frac{1}{x^2+2x+2}}[/math]

[math]\int{e^xsenx}[/math]

GRAZIE MILLE IN ANTICIPO A CHI MI RISPONDERÀ :blowkiss

[ciampax]

Per il primo, osserva che

[math]x^2+2x+2=x^2+2x+1+1=(x+1)^2+1[/math]

da cui, ponendo

[math]t=x+1[/math]

ricavi

[math]dt=dx[/math]

e quindi l'integrale diventa

[math]\int\frac{dt}{t^2+1}=\arctan t+c=\arctan(x+1)+c[/math]

Per il secondo, usa la formula di integrazione per parti due volte, integrando l'esponenziale e derivando la funzione trigonometrica. Detti

[math]I=\int e^x \sin x\ dx[/math]

ottieni

[math]I=e^x\sin x-\int e^x \cos x\ dx=\\
e^x\sin x-\left[e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\ dx\right][/math]

o anche

[math]I=e^x(\sin x-\cos x)-I[/math]

da cui

[math]2I=e^x(\sin x-\cos x)[/math]

e quindi

[math]I=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+c[/math]