Integrali fratti semplici

[piedeamaro1]

Salve, la domada è questa:
nel caso di

A/x-2 + B/(x-2)^2 + C/(x-2)^3 / (x-2)^3

si procede sempre nello stesso modo , cioè

A(x-2)^2 + A(x-2)^3 + B(x-2)+ B(x-2)^3 + C(x-2)+C (x-2)^2 / (x-2)^3
o esiste un altro sistema?

ciao.

[cavallipurosangue]

Non ho capito quello che hai fatto...

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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.

[piedeamaro1]

è un itegrale fratto.
Devo determiare la tre radici A B C essendo il denominatore (x-2)^3 di molteplicitè 3.

[fireball1]

Ma che integrale devi risolvere?

[piedeamaro1]

quote:

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Originally posted by fireball

Ma che integrale devi risolvere?

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dunque:
int: x^2-7x+12/(x-2)^3 dx

Preso dal mio libro di esercizi.
cioa.
Buon ferragosto.

[Camillo]

La funzione da integrare è : (x^2-7x+12)/(x-2)^3 , il denominatore ha una radice reale di molteplicità tre.
Pertanto la frazione iniziale può essere scomposta in fratti semplici così :
(x^2-7x+12)/(x-2)^3 = A/(x-2) +B(x-2)^2+ C/(x-2)^3 [e quindi facendo i conti si ottiene] =[A(x-2)^2+B(x-2)+C]/(x-2)^3 =
=[Ax^2-4Ax+4A+Bx-2B+C]/(x-2)^3=( riordinando i termini)
=[Ax^2+(B-4A)x+(4A-2B+C]/(x-2)^3 e quindi per il principio di identità dei polinomi, paragonando questo polinomio con quello iniziale deve essere:

A=1
B-4A = -7 [corretto il segno]
4A-2B+C = 12

da cui :

A=1 ; B= -3;C= 2
La funzione da integrare diventa quindi :
1/(x-2)-3/(x-2)^2+2/(x-3)^3 e questi sono integrali immediati.

Camillo

[piedeamaro1]

sul mio libro invece esce

A=1
B=-3
C=-8

[piedeamaro1]

rilutato a parte, ora ho capito dove sbagliavo(anche se non ho ancora fato dei test).
Sono proprio fulminato.

[Camillo]

Avevo sbagliato un segno , invece di :
B-4A = -7 avevo scritto :
B-4A = 7
il risultato viene allora :
A=1
B = -3
C = 2 e non -8 , se il numeratore è : x^2-7x+12.
Comunque a parte i conti spero ti sia servito a capire il concetto .
Devi andare a vedere il denominatore e scomporlo nel prodotto di fattori ; controllare poi per ogni fattore se le radici sono reali o complesse coniugate e di che molteplicità.
Poi si scompone la frazione originaria in modo diverso a seconda dei casi.
Se hai problemi , batti un colpo.
Camillo

[piedeamaro1]

si il num. è quello.
cioa.