Integrali divisioni tra polinomi
$y = \frac{2x^2}{x^2-4x+4}$
potreste aiutarmi a calcolare questo integrale con la divisione fra polinomi?
potreste aiutarmi a calcolare questo integrale con la divisione fra polinomi?
Risposte
Io non vedo integrali da calcolare. Al massimo, vedo una funzione di cui si può fare l'integrale (definito o meno) rispetto alla variabile \( x \). Supponiamo che la tua richiesta sia:
\[ \int \frac{ 2 x^2}{x^2 -4x + 4} \; \text{d} x \]
Allora, notando che:
\[ \frac{ 2x^2}{x^2 -4x + 4} = \frac{ 2x^2}{(x -2)^2} \]
Si ha, usando l'integrazione per parti:
\[ \begin{aligned} \int \frac{ 2 x^2}{x^2 -4x + 4} \; \text{d} x &= -\frac{ 2x^2} {x -2} + 4 \int \frac{ x}{x -2} \; \text{d} x \\ &= -\frac{2x^2}{x -2} + 4 \left ( \int \text{d} x + \int \frac{2}{x-2} \; \text{d} x \right ) \\ &=- \frac{2x^2}{x -2} +4x +8 \ln | x-2 | + c, \quad c \in \mathbb{R} \end{aligned} \]
\[ \int \frac{ 2 x^2}{x^2 -4x + 4} \; \text{d} x \]
Allora, notando che:
\[ \frac{ 2x^2}{x^2 -4x + 4} = \frac{ 2x^2}{(x -2)^2} \]
Si ha, usando l'integrazione per parti:
\[ \begin{aligned} \int \frac{ 2 x^2}{x^2 -4x + 4} \; \text{d} x &= -\frac{ 2x^2} {x -2} + 4 \int \frac{ x}{x -2} \; \text{d} x \\ &= -\frac{2x^2}{x -2} + 4 \left ( \int \text{d} x + \int \frac{2}{x-2} \; \text{d} x \right ) \\ &=- \frac{2x^2}{x -2} +4x +8 \ln | x-2 | + c, \quad c \in \mathbb{R} \end{aligned} \]
poichè il grado di numeratore e denominatore è uguale facciamo la divisione tra polinomi tra $x^2$ e $x^2-4x+4$. otteniamo un quoziente di 1 e resto $4x-4$. l'integrale si riduce allora a:
il primo è facile, per il secondo usiamo i fratti semplici:
da cui $A=B=1$. devi quindi risolvere: $ 2{intdx+4[int1/(x-2)dx+int1/(x-2)^2dx]} $
$ 2[int dx+4int(x-1)/(x^2-4x+4)dx] $
il primo è facile, per il secondo usiamo i fratti semplici:
$ A/(x-2)+B/(x-2)^2=(x-1)/(x-2)^2 $
da cui $A=B=1$. devi quindi risolvere: $ 2{intdx+4[int1/(x-2)dx+int1/(x-2)^2dx]} $
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