Integrali (66343)

[Ivano89]

Integrale di (Cosx)^3

Aggiunto 23 ore 49 minuti più tardi:

Grazie mille...
Questo invece

2x/(1+2x-x^2)

Aggiunto 7 minuti più tardi:

ho sbagliato a scrivere...è senza il 2x solo 2

2/(1+2x-x^2)

[enrico___1]

[math]
\int{\cos^3x\;dx}\;=\;\int{(1-\sin^2x)\cos x\; dx}\;=\;\sin x-\int{\cos x \sin^2x\; dx}
[/math]

Svolgi l'integrale

[math]\int{\cos x\sin^2 x\;dx}[/math]

per parti

[math]
\int{\cos x\sin^2x\;dx}\;=\; \sin^3x-2\int{\cos x\sin^2x\;dx}
[/math]

[math]
3\int{\cos x\sin^2x\;dx}=\sin^3x=\frac{\sin^3x}{3}
[/math]

Ottieni quindi che

[math]\int{\cos^3x\;dx}=\sin x-\frac{\sin^3x}{3}+c[/math]

[ciampax]

Visto che

[math]1+2x-x^2=2-(1-x)^2=(\sqrt{2}+1-x)(\sqrt{2}-1+x)[/math]

devi avere

[math]\frac{2}{1+2x-x^2}=\frac{A}{\sqrt{2}+1-x}+\frac{B}{\sqrt{2}-1+x}[/math]

da cui

[math]2=A(\sqrt{2}-1+x)+B(\sqrt{2}+1-x)=(A-B)x+A(\sqrt{2}-1)+B(\sqrt{2}+1)[/math]

e quindi

[math]A-B=0,\ A(\sqrt{2}-1)+B(\sqrt{2}+1)=2\ \Rightarrow\ A=B=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]

Si ha allora

[math]\int\frac{2}{1+2x-x^2}\ dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\int\frac{dx}{\sqrt{2}+1-x}+\int\frac{dx}{\sqrt{2}+1+x}\right]=\\
\frac{\sqrt{2}}{2}\left[-\log|\sqrt{2}+1-x|+\log|\sqrt{2}-1+x|\right]+c=\frac{\sqrt{2}}{2}\log\left|\frac{\sqrt{2}-1+x}{\sqrt{2}+1-x}\right|+c[/math]