Integrali
Ciao, come va? Da un pò che non ci si sente!!!
Ho bisogno del VS aiuto per risolvere i seguenti integrali:
INTEGRrqdr(9-x^2)dx ponendo x=3sent
INTEGRsen^2xcos^3xdx senx=t
INTEGRln^3x-2\x(ln^2x-1)dx lnx=t
INTEGRrqdr(e^x-1)dx rdqr(e^x-1)=t
INTEGR1\rdqr(3x+2)*lnrdqr(3x+2)dx
Buona fortuna!!!!
Ho bisogno del VS aiuto per risolvere i seguenti integrali:
INTEGRrqdr(9-x^2)dx ponendo x=3sent
INTEGRsen^2xcos^3xdx senx=t
INTEGRln^3x-2\x(ln^2x-1)dx lnx=t
INTEGRrqdr(e^x-1)dx rdqr(e^x-1)=t
INTEGR1\rdqr(3x+2)*lnrdqr(3x+2)dx
Buona fortuna!!!!
Risposte
Bentornata Enza! Ma gli integrali non sono argomento di quinto?
Dai problemi che hai postato nei mesi scorsi, avevo dedotto che facevi il terzo, quindi ora dovresti fare il quarto, come me...
È così?
fireball
Modificato da - fireball il 07/11/2003 22:46:51
Dai problemi che hai postato nei mesi scorsi, avevo dedotto che facevi il terzo, quindi ora dovresti fare il quarto, come me...
È così?
fireball
Modificato da - fireball il 07/11/2003 22:46:51
Enza, ho ricevuto una mail della sottoscrizione del forum, che mi dice che hai risposto alla mia domanda... Non vedo però il tuo post! L'hai forse tolto? Se è una comunicazione riservata, mandami una mail 
!
Mi sembra solo un po' strano che una persona passi dal postare problemi di geometria analitica presi dal libro di terzo, al postare integrali, oltretutto anche abbastanza tosti... Magari li hai presi dal libro "Nuovi Elementi Di Matematica C".
Comunque:
...sempre che siano integrali indefiniti!
Goblyn, mi confermi i risultati?
Ciao!
Modificato da - fireball il 08/11/2003 15:20:22
!Mi sembra solo un po' strano che una persona passi dal postare problemi di geometria analitica presi dal libro di terzo, al postare integrali, oltretutto anche abbastanza tosti... Magari li hai presi dal libro "Nuovi Elementi Di Matematica C".
Comunque:
...sempre che siano integrali indefiniti!
Goblyn, mi confermi i risultati?
Ciao!
Modificato da - fireball il 08/11/2003 15:20:22
appena ho tempo controllo... si faccia sotto qualcun altro intanto!
Ciao fireball,
non frequento la scuola superiore!!!Ogni tanto mi diletto con la matematica saltando da un argomento all'altro per mantenermi allenata!!!Spero aver chiarito le tue perplessità.
A presto.
A proposito, mi suggerisci un modo semplice per risolvere questo sistema simmetrico(quello da me trovato è troppo artificioso)?
x^2+y^2-xy=21
xy=2x+2y+2
Modificato da - marraenza il 08/11/2003 22:24:41
non frequento la scuola superiore!!!Ogni tanto mi diletto con la matematica saltando da un argomento all'altro per mantenermi allenata!!!Spero aver chiarito le tue perplessità.
A presto.
A proposito, mi suggerisci un modo semplice per risolvere questo sistema simmetrico(quello da me trovato è troppo artificioso)?
x^2+y^2-xy=21
xy=2x+2y+2
Modificato da - marraenza il 08/11/2003 22:24:41
ma il procedimentoooooooo dov'è?????
Apposta ho chiesto l'intervento di goblyn. Gli integrali li ho calcolati con il Derive anche perché non ho studiato ancora Analisi Matematica. Sarà il prossimo anno o magari verso la fine di quest'anno di liceo.
Insomma Tommaso, le integri tu 'ste funzioni?
Ciao!
Insomma Tommaso, le integri tu 'ste funzioni?
Ciao!
Eh un attimo...
Ometto il segno d'integrale. Se c'è dx vuol dire che siamo sotto segno d'integrale. Ometto anche la costante arbitraria.
1)
I=sqrt(9-x^2)dx
x=3*sin(t)
dx=3*cos(t)dt
sqrt(9-9*sin(t)^2)*3*cos(t)dt=
=9*cos(t)^2 dt
cos(t)^2 = (1+cos(2t))/2 (bisezione)
I=9/2 * (1+cos(2t)) dt =
= 9/2 * t + 9/4 * sin(2t) = 9/2*( t+ sin(t)cos(t) )
sin(t)=x/3
cos(t)=sqrt(1-(x/3)^2)
I = 9/2*( arcsin(x/3) + x/3 * sqrt(1-(x/3)^2) )
Ok coincide con la fireball's solution...
Ometto il segno d'integrale. Se c'è dx vuol dire che siamo sotto segno d'integrale. Ometto anche la costante arbitraria.
1)
I=sqrt(9-x^2)dx
x=3*sin(t)
dx=3*cos(t)dt
sqrt(9-9*sin(t)^2)*3*cos(t)dt=
=9*cos(t)^2 dt
cos(t)^2 = (1+cos(2t))/2 (bisezione)
I=9/2 * (1+cos(2t)) dt =
= 9/2 * t + 9/4 * sin(2t) = 9/2*( t+ sin(t)cos(t) )
sin(t)=x/3
cos(t)=sqrt(1-(x/3)^2)
I = 9/2*( arcsin(x/3) + x/3 * sqrt(1-(x/3)^2) )
Ok coincide con la fireball's solution...
I= sin(x)^2 * cos(x)^3 dx
=-1/4 * sin(x) * -4*sin(x)*cos(x)^3 dx=
=-1/4 * sin(x) * d/dx(cos(x)^4) dx
Integro per parti:
(-1/4) * sin(x) * cos(x)^4 +(1/4)*INT cos(x)^5 dx
Poi bisogna integrare il cos^5 per parti... è un po' lungo...
=-1/4 * sin(x) * -4*sin(x)*cos(x)^3 dx=
=-1/4 * sin(x) * d/dx(cos(x)^4) dx
Integro per parti:
(-1/4) * sin(x) * cos(x)^4 +(1/4)*INT cos(x)^5 dx
Poi bisogna integrare il cos^5 per parti... è un po' lungo...
ln(x)^3-2/x * (ln(x)^2-1)) dx
t=ln(x)
x=e^t
dx =e^t dt
I = ( (t^3)*e^t - 2*(t^2-1) ) dt =
si spezza in due integrali:
I1 = t^3 * e^t dt = t^3 * d/dt(e^t) dt
integriamo ripetutamente per parti:
I1 = t^3 * e^t - 3 * INT t^2 * e^t dt =
= (t^3 - 3 * t^2 )*e^t + 6 * INT t * e^t dt =
= (t^3 - 3 * t^2 + 6t - 6)*e^t =
= (ln(x)^3 - 3ln(x)^2 + 6ln(x) - 6)*x
I2=-2(t^2-1)dt=-2/3 t^3 + 2t = -2/3 ln(x)^3 + 2ln(x)
I = ln(x)^3 * (x-2/3) - 3x*ln(x)^2 + ln(x) * (2+6x) - 6x
t=ln(x)
x=e^t
dx =e^t dt
I = ( (t^3)*e^t - 2*(t^2-1) ) dt =
si spezza in due integrali:
I1 = t^3 * e^t dt = t^3 * d/dt(e^t) dt
integriamo ripetutamente per parti:
I1 = t^3 * e^t - 3 * INT t^2 * e^t dt =
= (t^3 - 3 * t^2 )*e^t + 6 * INT t * e^t dt =
= (t^3 - 3 * t^2 + 6t - 6)*e^t =
= (ln(x)^3 - 3ln(x)^2 + 6ln(x) - 6)*x
I2=-2(t^2-1)dt=-2/3 t^3 + 2t = -2/3 ln(x)^3 + 2ln(x)
I = ln(x)^3 * (x-2/3) - 3x*ln(x)^2 + ln(x) * (2+6x) - 6x
I=sqrt(e^x - 1) dx
t=sqrt(e^x-1)
e^x = t^2 + 1
x= ln(1+t^2)
dx=2t/(1+t^2) dt
I = 2 (1+t^2-1) / (1+t^2) dt = 2 (1 - 1/(1+t^2) ) dt
= 2t -2arctg(t) =
=2*sqrt(e^x-1) - 2*arctg(sqrt(e^x-1))
qui fire ti sei dimenticato la radice!!!
t=sqrt(e^x-1)
e^x = t^2 + 1
x= ln(1+t^2)
dx=2t/(1+t^2) dt
I = 2 (1+t^2-1) / (1+t^2) dt = 2 (1 - 1/(1+t^2) ) dt
= 2t -2arctg(t) =
=2*sqrt(e^x-1) - 2*arctg(sqrt(e^x-1))
qui fire ti sei dimenticato la radice!!!
I = 1\sqrt(3x+2) * ln(sqrt(3x+2)) dx
t=sqrt(3x+2)
t^2=3x+2
x=(t^2 - 2)/3
dx = (2/3)t dt
I = 2/3 * ln(t) dt=
= d/dt(2/3 t) * ln(t) dt =
= 2/3 * t * ln(t) - INT (2/3) dt =
= (2/3)t * (ln(t)-1) =
= 2/3 * sqrt(3x+2) * ( ln(sqrt(3x+2)) - 1 )
Avrò sicuramente fatto qualche errore di distrazione... controlla i passaggi!
Modificato da - goblyn il 09/11/2003 11:04:44
t=sqrt(3x+2)
t^2=3x+2
x=(t^2 - 2)/3
dx = (2/3)t dt
I = 2/3 * ln(t) dt=
= d/dt(2/3 t) * ln(t) dt =
= 2/3 * t * ln(t) - INT (2/3) dt =
= (2/3)t * (ln(t)-1) =
= 2/3 * sqrt(3x+2) * ( ln(sqrt(3x+2)) - 1 )
Avrò sicuramente fatto qualche errore di distrazione... controlla i passaggi!
Modificato da - goblyn il 09/11/2003 11:04:44
Hai ragione, correggo la mia gif...
Anzi no, ora non posso perché l'avevo già resa trasparente... Enza, guarda le soluzioni di goblyn!
Modificato da - fireball il 09/11/2003 11:20:17
Anzi no, ora non posso perché l'avevo già resa trasparente... Enza, guarda le soluzioni di goblyn!
Modificato da - fireball il 09/11/2003 11:20:17
Il secondo integrale si può risolvere più semplicemente con la sostituzione indicata da marraenza.
Si ha senx = t ==> cosx dx = dt
L'integrale, sfruttando la relazione (cosx)^2 = 1 - (senx)^2, diventa:
INT(t^2(1 - t^2)dt)
la cui soluzione elementare è:
t^3/3 - t^5/5 + C
Tornando alla variabile x si ottiene infine:
sen^3x/3 - sen^5x/5 + C
Si ha senx = t ==> cosx dx = dt
L'integrale, sfruttando la relazione (cosx)^2 = 1 - (senx)^2, diventa:
INT(t^2(1 - t^2)dt)
la cui soluzione elementare è:
t^3/3 - t^5/5 + C
Tornando alla variabile x si ottiene infine:
sen^3x/3 - sen^5x/5 + C
sì, molto meglio... grazie MaMo
ciao!! vedo che è andata persa la tua domanda sui sistemi...provo a darti una mano...salto un po' di passaggi...
x^2+y^2-xy=21
xy=2x+2y+2
ovvero
xy=x^2+y^2-21
xy=2x+2y+2
per differenza...
x^2+y^2-2x-2y-23=0
questa è l'equazione di una circonferenza di centro (1;1)e raggio 5...
le soluzioni sono dunque infinite...
prova a farti un grafico...
se hai bisogno di più chiarimenti fammi sapere...
ciao
il vecchio
x^2+y^2-xy=21
xy=2x+2y+2
ovvero
xy=x^2+y^2-21
xy=2x+2y+2
per differenza...
x^2+y^2-2x-2y-23=0
questa è l'equazione di una circonferenza di centro (1;1)e raggio 5...
le soluzioni sono dunque infinite...
prova a farti un grafico...
se hai bisogno di più chiarimenti fammi sapere...
ciao
il vecchio
Quando sostituisci un'equazione nell'altra però devi sempre portarti dentro anche l'altra delle due equazioni... e poi fare l'intersezione...
Certamente non devi perderti l'altra equazione.
Pensa che un sistema di due equazioni in 2 incognite è indeterminato solo se una equazione è la replica dell'altra per così dire .
Ad esempio se fosse :
( x^2+y^2 = 5
)
( 2x^2+2y^2 = 10 in cui la seconda equazione è il doppio della prima , allora è chiaramente indeterminata (infinite soluzioni).
Se invece fosse :
( x^2+y^2 = 21
)
( x^2+y^2 = 32
allora chiaramente il sistema è impossibile e non ha soluzioni.
Nel caso nostro si potrebbe fare così , riscrivendo le 2 equazioni in questo modo del tutto equivalente e mettendo in evidenza (x+y):
( (x+y)^2 -3xy= 21
)
(xy = 2(x+y)+2 e sostituendo xy nella prima eq. si ottiene :
(x+y)^2 -6(x+y)-27 = 0
ricavo allora (x+y) = 3+-sqrt(36)= 9 e -3 .
Sviluppo ancora qualche conto considerando : x+y = 9 ( va fatto anche l'altro ovviamente )ed ottengo : xy =20, quindi il sistema da risolvere diventa :
(x+y= 9
) xy = 20 , che facilmente risolto da :
x= 5; y = 4
x=4 ; y = 5
e poi non scordare l'altro sistema :
(x+y = -3
)xy = -4
che risolto darà altre due soluzioni.( mi sembra : -4 e 1)
Il sistema infatti è di quarto grado.
ciao
Camillo
Pensa che un sistema di due equazioni in 2 incognite è indeterminato solo se una equazione è la replica dell'altra per così dire .
Ad esempio se fosse :
( x^2+y^2 = 5
)
( 2x^2+2y^2 = 10 in cui la seconda equazione è il doppio della prima , allora è chiaramente indeterminata (infinite soluzioni).
Se invece fosse :
( x^2+y^2 = 21
)
( x^2+y^2 = 32
allora chiaramente il sistema è impossibile e non ha soluzioni.
Nel caso nostro si potrebbe fare così , riscrivendo le 2 equazioni in questo modo del tutto equivalente e mettendo in evidenza (x+y):
( (x+y)^2 -3xy= 21
)
(xy = 2(x+y)+2 e sostituendo xy nella prima eq. si ottiene :
(x+y)^2 -6(x+y)-27 = 0
ricavo allora (x+y) = 3+-sqrt(36)= 9 e -3 .
Sviluppo ancora qualche conto considerando : x+y = 9 ( va fatto anche l'altro ovviamente )ed ottengo : xy =20, quindi il sistema da risolvere diventa :
(x+y= 9
) xy = 20 , che facilmente risolto da :
x= 5; y = 4
x=4 ; y = 5
e poi non scordare l'altro sistema :
(x+y = -3
)xy = -4
che risolto darà altre due soluzioni.( mi sembra : -4 e 1)
Il sistema infatti è di quarto grado.
ciao
Camillo
mamma mia che bufala che ho detto!!!! 
scusate!! mi sembrava troppo semplice infatti...
va bè Enza segui ciò che dicono gli altri...è indubbiamente meglio!!
ciao
la prossima volta spero di esserti veramente utile..
il vecchio
scusate!! mi sembrava troppo semplice infatti...
va bè Enza segui ciò che dicono gli altri...è indubbiamente meglio!!
ciao
la prossima volta spero di esserti veramente utile..
il vecchio
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