Integrale ricorsivo

[Frodo478]

Ciao,
ho un dubbio riguardo a un integrale ricorsivo che in base alle tecniche usate per la risoluzione dell'equazione mi porta a due risultati differenti.
Partendo dall'integrale definito \( \int (sin^2x)dx \)
procediamo ad una scomposizione per parti \( \int (sin^2x)dx = -sin(x)cos(x) + \int (cos^2x)dx \)
ed applichiamo nuovamente lo stesso metodo ottenendo
\( \int (sin^2x)dx = -sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)+\int (sin^2x)dx \)
ossia \( 0=0 \)

mentre se al secondo passaggio della precedente risoluzione \( \int (sin^2x)dx = -sin(x)cos(x) + \int (cos^2x)dx \)
osservo \( cos^2x \) come \( 1-sin^2x \)
allora \( \int (sin^2x)dx = -sin(x)cos(x) + \int (1-sin^2x)dx \)
diventa\( \int (sin^2x)dx = -sin(x)cos(x) + x - \int (sin^2x)dx \)
risolvendo l'equazione come \( \int (sin^2x)dx = \frac{1}{2}x -\frac{1}{2}sin(x)cos(x) + c \)

Perché due metodi pressoché uguali (sempre che non ci siano errori nella risoluzione) mi portano a due risultati differenti?
Spero di essere stato abbastanza chiaro, vi ringrazio

[Frodo478]

Grazie della spiegazione, non riuscivo a capire cosa ci fosse di sbagliato.