Integrale per parti

[Help2]

$int1/x dx=1/x*x-int-1/x^2x dx=1+int1/xdx; 0=1$
Qualcuno potrebbe chiarirmi questa cosa? grazie

[gygabyte017]

Come saprai, integrando una funzione non ottieni UNA primitiva, ma l'insieme di tutte le primitive che differiscono per una costante.
Nei due casi:
1) $int 1/x dx = ln|x| + C_1$
2) $int 1/x dx = 1/x * x - int -1/x^2xdx = 1 + int 1/xdx = 1+ ln|x| + C = ln|x| + C_2 + 1$

Come vedi, facendo la prima meno la seconda, ottieni:
$ (ln|x| + C_1) - (ln|x| + C_2 + 1 ) = C_1 - C_2 - 1$ che è una costante! Infatti le due funzioni differiscono proprio per una costante, e questo è il motivo per cui $int 1/xdx= ln|x| + C$ dove $C$ può assumere qualsiasi valore (nel primo caso $C_1$, nel secondo $C_2 +1$).

Spero di essere stato chiaro...
ciao

Edit: andando avanti con l'integrazione per parti si potrebbe continuare all'infinito: $int 1/x dx = 1/x * x - int -1/x^2xdx = 1 + int 1/xdx = 1 + 1/x * x - int -1/x^2xdx = 1 + 1 + int 1/xdx = 2 + int 1/xdx $ ... etc etc... ma comunque qualsiasi risultato sarebbe esprimibile come $ln|x|+C$ !