Integrale ostico (per me almeno)
Ciao a tutti!
Gli integrali con la radice mi mettono sempre in difficoltà incredibile (almeno che non siano banali).
Il mio ultimo cruccio è questo:
$int_(sqrt(-(x^2-8x+7))dx)$
che per il particolare caso è da fare definito in una parte dell'intervallo di definizione della funzione interessata.
Ho provato tutte le sostituzioni possibili immaginabili, magari assieme ad un'integrazione per parti, ma senza giungere a nulla di buono.
Sapreste darmi una mano a risolverlo?
Sono anche curioso di sapere come affrontate voi il metodo di risoluzione per questo tipo di integrali...nel senso, come fate a riconoscere la sostituzione o il metodo di risoluzione migliore senza perdere troppo tempo?
Gli integrali con la radice mi mettono sempre in difficoltà incredibile (almeno che non siano banali).
Il mio ultimo cruccio è questo:
$int_(sqrt(-(x^2-8x+7))dx)$
che per il particolare caso è da fare definito in una parte dell'intervallo di definizione della funzione interessata.
Ho provato tutte le sostituzioni possibili immaginabili, magari assieme ad un'integrazione per parti, ma senza giungere a nulla di buono.
Sapreste darmi una mano a risolverlo?
Sono anche curioso di sapere come affrontate voi il metodo di risoluzione per questo tipo di integrali...nel senso, come fate a riconoscere la sostituzione o il metodo di risoluzione migliore senza perdere troppo tempo?
Risposte
Come hai detto tu gli altri metodi pare non portino a nulla di buono.
Quando ci sono delle radici e i metodi "classici" non vanno bene, di solito bisogna usare seni e coseni (iperbolici o non).
Qui ad esempio io farei così sotto radice:
$-x^2 +8x -7 =$ (provo a completare il quadrato.. magari viene qualcosa di interessante) $= -x^2 +8x -16 +16 -7 = 9 -(x-4)^2 = 9(1-(\frac{x-4}{3})^2)$
Ora puoi provare a sostituire $sen t = \frac{x-4}{3}$...
Paola
PS Chiedevi un metodo generale. Negli integrali si va ad intuito, non esistono molte regole generali... Se come in questo caso non vedi percorribili le solite strade devi ingegnarti un po' e provare trucchi algebrici.
Sai perchè ti ho detto di usare seni e coseni? Perchè si ha
$cos^2 x = 1- sen^2 x$
e
$cosh^2 x = 1+senh^2 x$
E questo può essere utile se si hanno radici... Perchè quei quadrati le fanno andare via.
Quando ci sono delle radici e i metodi "classici" non vanno bene, di solito bisogna usare seni e coseni (iperbolici o non).
Qui ad esempio io farei così sotto radice:
$-x^2 +8x -7 =$ (provo a completare il quadrato.. magari viene qualcosa di interessante) $= -x^2 +8x -16 +16 -7 = 9 -(x-4)^2 = 9(1-(\frac{x-4}{3})^2)$
Ora puoi provare a sostituire $sen t = \frac{x-4}{3}$...
Paola
PS Chiedevi un metodo generale. Negli integrali si va ad intuito, non esistono molte regole generali... Se come in questo caso non vedi percorribili le solite strade devi ingegnarti un po' e provare trucchi algebrici.
Sai perchè ti ho detto di usare seni e coseni? Perchè si ha
$cos^2 x = 1- sen^2 x$
e
$cosh^2 x = 1+senh^2 x$
E questo può essere utile se si hanno radici... Perchè quei quadrati le fanno andare via.
Se l'integrale che devi calcolare è definito, e gli estremi di integrazione sono "interessanti" potresti considerare il fatto che la funzione $y=sqrt(-x^2+8x-7)$, poste le dovute condizioni di positività della y e del radicando, rappresenta la semicirconferenza "superiore" di centro (4,0) e raggio 3.
Quindi integrare equivale a calcolare l'area di una parte o tutta la semicirconferenza (dipende dagli estremi).
Spero che questa considerazione ti sia stata utile...
Ciao,
S.
Quindi integrare equivale a calcolare l'area di una parte o tutta la semicirconferenza (dipende dagli estremi).
Spero che questa considerazione ti sia stata utile...
Ciao,
S.
Grazie ad entrambi...tutti consigli molto utili, compreso quello della semicirconferenza!
Grazie 1000 e buon lavoro, e/o esami e/o vacanze
Ciao, Mauro
Grazie 1000 e buon lavoro, e/o esami e/o vacanze
Ciao, Mauro
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