Integrale ostico

[giogiomogio]

ho un integrale ostico da risolvere...
dopo una sostituzione e svariate uguaglianze
dall'integrale

$int sqrt(1+(1/x)^2) dx$
sono arrivato a

$int -sqrt(1+u^2)/u^2 du$
il problema adesso è che non so piu cosa fare... ho controllato la tabella degli integrali ma non ho trovato niente in questa forma... secondo voi come potrei fare?

grazie

[minomic]

Ciao, con semplici passaggi si arriva a \[\int{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\ dx}\] Poniamo \[\sqrt{x^2+1} = t\] e l'integrale diventa \[\int{\frac{t^2}{t^2-1}\ dt} = \int{\frac{t^2}{(t+1)(t-1)}\ dt}\] Con la scomposizione in fratti semplici si può riscrivere il tutto come \[\frac{1}{2} \int{\left[\frac{t}{t+1} + \frac{t}{t-1}\right]\ dt}\] che a questo punto si integra facilmente.

[rino6999]

poni
\(\displaystyle \sqrt{1+u^2}=u+t \)
e ricava u in funzione di t

[giogiomogio]

grazie minomic...
non ho capito come hai fatto con i semplici passaggi ad arrivare a $sqrt(x^2+1)/x $

[minomic]

Ecco qui \[\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2} = \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\]

[rino6999]

ha fatto i calcoli all'interno della radice (potenza e m.c.m.) e ha portato la \(\displaystyle x^2 \)fuori dalla radice
ma vi ricordo che \(\displaystyle\sqrt{x^2} =|x|\) e non semplicemente \(\displaystyle x \)

[minomic]

"raf85":vi ricordo che \(\displaystyle\sqrt{x^2} =|x|\) e non semplicemente \(\displaystyle x \)

Giusto ma ho preferito "tralasciare" per concentrare l'attenzione di giogiomogio sull'integrale.

[giogiomogio]

grazie raf grazie minomic...
io all'esame la vedo male... io non so come diamine fate voi a trovare tutti sti passaggi nel giro di 3 secondi ... a parte i passaggi che mi ha mostrato mino, ma poi le sostituzioni corrette e poi infine la scomposizione in frazioni semplici che non avrei MAIII visto...
mi dite come potrei trovare pure io tutte queste cose in poco tempo?
che tipo di esercizi dovrei fare? di integrali ne ho fatti parecchio l'anno scorso...
eppure ancora faccio fatica

[rino6999]

non ti scoraggiare,non mi sono inventato niente
ho usato una delle sostituzioni di eulero